次の積分は発散するかどうか

質問

次の積分は発散しますか？

積分問題：　　　∫[0～∞]exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝dx

exp(-x^2/4)と∫[0～x]exp(r^2/4)dr との積をxについて0から∞まで積分すると発散するかどうかということです。
exp(-x^2/4)｛∫[0～x]exp(r^2/4)dr｝についてはxを∞にとばすとこれは0に収束することが示すことができました。0に収束するのでこの問題となっている積分がもしかしたら収束するかもしれないし発散するかもしれないしというところです。

回答No.4

ask-it-aurora

発散します.

かんたんに示すために u = (x - y)/2, v = (x + y)/2 で定義される変数変換 T: (x, y) |--> (u, v) をしましょう. ヤコビアンは 2 なので, もとの積分は

∫[0～∞]dx exp(-x^2/4)｛∫[0～x]dy exp(y^2/4)｝=
∫[D]dxdy exp((y^2 - x^2)/4) =
2∫[T(D)] dudv exp(-uv)

となります. ただし積分範囲を D = { (x, y) : 0 < y < x } とおいたのでT(D) = { (u, v) : 0 < u < v } です. こうすれば後ろの部分の積分はかんたんに

∫[0～∞]du ∫[u～∞]dv exp(-uv) =
∫[0～∞]du [(-1/u) exp(-uv)] =
∫[0～∞]du (1/u) exp(-u^2)

とかけます. が, 最後の積分は部分積分をすると

∫du (1/u) exp(-u^2) =
[(-1/(2u^2)) exp(-u^2)] - ∫du (1/u^3) exp(-u^2)

となり最初の境界項が u → 0 の極限で発散してしまいます. したがって問題の積分も発散します. □

お礼

証明ありがとうございます。私の証明については次の質問にて載せようと思います。