数学の問題の解答をお願いします。

質問

２つの放物線C１：ｙ＝ｘ2＋ａｘ＋１とＣ２：ｙ＝－ｘ2＋３ｘ＋aが異なる２点で交わるとする。
－２≦a≦２のとき、Ｃ１とＣ２が囲む部分の面積の最大値を求めよ。

（ｘ2はｘの二乗です）

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

＞y=x^2+ax+1=(x+a/2)^2+1-a^2/4
y=-x^2+3x+a=-(x^2-3x)+a=-(x-3/2)^2+a+9/4
x^2+ax+1=-x^2+3x+a、2x^2+(a-3)x+1-a=0、根の判別式(a-3)^2-4*2(1-a)
=a^2+2a+1=(a+1)^2＞0はa≠-1で成り立つ。2x^2+(a-3)x+1-a=0の解を
α、β(α＜β)とすると、x^2+(a-3)x/2+(1-a)/2=(x-α)(x-β)
x^2-(α+β)x+αβ=0からα+β=(3-a)/2、αβ=(1-a)/2
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=(3-a)^2/4-4*(1-a)/2=(a^2+2a+1)/4=(a+1)^2/4
α＜βだからα-β=-(a+1)/2
Ｃ１とＣ２が囲む部分の面積Sは、
S=∫[x=α→β]{(-x^2+3x+a)-(x^2+ax+1)}dx=
∫[x=α→β]{-2x^2+(3-a)x+(a-1)}dx
=[-(2/3)x^3+{(3-a)/2}x^2+(a-1)x][x=α→β]
=-(2/3)β^3+{(3-a)/2}β^2+(a-1)β+(2/3)α^3-{(3-a)/2}α^2-(a-1)α
=(2/3)(α^3-β^3)-{(3-a)/2}(α^2-β^2)+(1-a)(α-β)
=(α-β)[(2/3)(α+β)^2-(2/3)αβ-{(3-a)/2}(α+β)+(1-a)]
={-(a+1)/2}*[(2/3){(3-a)/2}^2-(2/3){(1-a)/2}-{(3-a)/2}{(3-a)/2}+(1-a)]
={-(a+1)/2}*[(-1/3){(3-a)/2}^2+2(1-a)/3]=(a+1)^3/24
dS/da=(a+1)^2/8、d^2S/da=(a+1)/4
よってS(a)は点(-1,0)が変曲点の右上がりの三次曲線なので、
-2≦a≦2のときのＣ１とＣ２が囲む部分の面積の最大値は
S(2)=(2+1)^3/24=27/24=9/8・・・答