同志社大学の数学

質問

よろしくおねがいします。

全学部日程の数学の問題なのですが、問題だけをインターネットで入試し、解答が付属しておりません。

http://suseum.jp/pq/question/1240?name=%E5%90%8C%E5%BF%97%E7%A4%BE%E5%A4%A7%E5%AD%A6

リンクの問題の大問3番の（２）で躓いてしまいます。
というのも、OHとAB、ACが垂直であることを利用するのであろうということはわかるのですが、
aベクトルの2乗などがでてきてかなり計算が煩雑になってしまい、本当にあっているのか不安になります。
知恵をお貸しください。

回答No.1

yyssaa · ベストアンサー

知恵はありませんが、単純に計算すると
＞ベクトルaを↑a、内積を・で表します。
↑OH=↑a+↑AH。s、tを実数として
↑AH=s↑AB+t↑AC=s(↑b-↑a)+t(↑c-↑a)=-(s+t)↑a+s↑b+t↑c
↑OH=↑a+↑AH=(1-s-t)↑a+s↑b+t↑c
↑OH・↑AC={(1-s-t)↑a+s↑b+t↑c}・(↑c-↑a)
↑OH・↑AB={(1-s-t)↑a+s↑b+t↑c}・(↑b-↑a)
ここで↑a・↑c=↑b・↑c=↑b・↑a=↑c・↑a=↑a・↑b=↑c・↑b=0
↑a・↑a=|↑a|^2、↑b・↑b=|↑b|^2、↑c・↑c=|↑c|^2だから
↑OH・↑AC=-(1-s-t)|↑a|^2+t|↑c|^2=0・・・(1)
↑OH・↑AB=-(1-s-t)|↑a|^2+s|↑b|^2=0・・・(2)
(1)(2)を連立で解いてs、tを求めると
s=(|↑a|^2*|↑c|^2)/(|↑a|^2*|↑b|^2+|↑a|^2*|↑c|^2+|↑b|^2*|↑c|^2)
t=(|↑a|^2*|↑b|^2)/(|↑a|^2*|↑b|^2+|↑a|^2*|↑c|^2+|↑b|^2*|↑c|^2)
これを↑OH=(1-s-t)↑a+s↑b+t↑cに代入して
↑OH={1/(|↑a|^2*|↑b|^2+|↑a|^2*|↑c|^2+|↑b|^2*|↑c|^2)}
*(|↑b|^2*|↑c|^2↑a+|↑a|^2*|↑c|^2↑b+|↑a|^2*|↑b|^2↑c)

お礼

早速の回答有難うございます！
やはりAHをsとtで分割する方法でよかったのですね。。。
計算力がないので苦戦していました。

ありがとうございました。