この問題を解説できる方いませんか

質問

行列Ａ＝「０　－１
　　　　　　１　－１」について、次の各問に答えよ。
（１）Ａのｎ個の積Ａ＾ｎを求めよ。ただし、ｎは自然数とする。
（２）a＞＝０、ｂ＞＝０、ｃ＞＝０、ｄ＞＝０とする。
行列Ｂ＝「a b　　　がＡ＾２Ｂ＝ＢＡ, B^2=「１　０　を満たすとき、Ｂを求めよ。
　　　　　　 c d」　　　　　　　　　　　　　　　０　１」
（３）（２）で求めたＢに対して、ＢＡ＾２ＢＡ＾２５ＢＡ＾１９９９を求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

2次正方行列={(第1列ベクトル転置),(第2列ベクトル転置)}という記法を使います．

A^2={(-1,-1),(1,0)}
A^3={(0,1),(-1,-1)}{(-1,-1),(1,0)}={(1,0),(0,1)}=E（2次単位行列）

[1]よってkを自然数とするとき

n=3k-2のとき

A^n=A^{3(k-1)}A=E^{k-1}A=A={(0,1),(-1,-1)}

n=3k-1のとき

A^n=A^{3(k-1)}A^2=E^{k-1}A^2=A^2={(-1,-1),(1,0)}

n=3kのとき

A^n=A^{3k}=E^k=E={(1,0),(0,1)}

[2]A={(0,1),(-1,-1)},A^2={(-1,-1),(1,0)},B={(a,c),(b,d)}であるから

A^2B=BA
{(-1,-1),(1,0)}{(a,c),(b,d)}={(a,c),(b,d)}{(0,1),(-1,-1)}
{(-a+c,-a),(-b+d,-b)}={(b,d),(-a-b,-c-d)}

これから

c=a+b≧0,d=-a≧0

ここでa≧0,b≧0よりc≧0は満たされd≧-aよりa≦0であるからa=0

∴a=d=0,c=b≧0,

よって

B={(0,b),(b,0)}=bE

B^2=b^2E

B^2=Eだから

b^2=1

b≧0よりb=1

こうして

B={(0,1),(1,0)}

[3]

BA^2BA^{25}BA^{1999}

=B(A^2B)(A^3)^8AB(A^3)^{666}A

ここでA^2B=BA,A^3=Eより

B(BA)ABA

=B^2(A^2B)A

ここでB^2=E,A^2B=BAより

BAA=BA^2={(0,1),(1,0)}{(-1,-1),(1,0)}

={(-1,-1),(0,1)}

回答No.2

alice_44

同じ質問の前回投稿 http://okwave.jp/qa/q7915889.html
に回答した者です。かなり詳しいヒントを書いておきましたが、
「ヒントに沿ってやってみたら、途中まででも補足に書いてみてください！」
に対し、一行の考察も無く、「全然わからないので解説お願いできますか？」
だったのには、正直ガッカリしました。このサイトでは、いつものことですが。

せめて A^2,A^3,A^4,… くらいは、自分で手を動かして計算してみましたか？
また、AAB=BA は、解く解かない以前に、a,b,c,d の方程式として書き下して
みたのでしょうか。

今回は、丸写し可能な解答が寄せられているようですが、それで
貴方は、次の機会に類題が自分で解ける人になれるのでしょうか？
とても残念です。