波動の問題についての質問

質問

波長8m、周期8s、速さ1m/s　の波が　x=12[m]の位置にある壁に反射し、反射した波が　x=-12[m]に到達した時のx=-6[m]における変位を求める。という問題の解説をお願いします。
添付した画像は　t=0[s]における波の変位です。

回答No.2

Quarks · ベストアンサー

ANo.1です。

変位を与える式を使った解法、とのことでしたので、追加しておきます。

ｘ軸の正の方向に進行している進行波の変位(ｙ1)を式で表現すると
　ｙ1＝Ａ・sin(2π・(ｔ/Ｔ－ｘ/λ)＋δ)
　（ここでδは初期位相です）
となります。

初期位相を求める手っ取り早い方法は、適当な時刻と媒質位置を設定してその変位から推測することです(山や谷になっている部分に注目すると良いでしょう)。
たとえば、今の問題なら、問題文で与えられている波形から
　ｔ＝０，ｘ＝λ/4　の変位は、ｙ1＝Ａ 　となっているのですから
　Ａ＝Ａ・sin(2π・(0/Ｔ－(λ/4)/λ)＋δ)
∴　2π・(0/Ｔ－(λ/4)/λ)＋δ＝π/2
これより　δ＝π　です。
∴ｙ1＝Ａ・sin(2π・(ｔ/Ｔ－ｘ/λ)＋π)
　＝－Ａ・sin(2π・(ｔ/Ｔ－ｘ/λ))
と表されることになります。

一方、反射波はこれと反対向きに進む波ですから、初期位相を、適当な定数σを使って表して、反射波の変位(ｙ2)を表す式は
　ｙ2＝Ａ・sin(2π・(ｔ/Ｔ＋ｘ/λ＋σ))
と書けます(初期位相を括弧内に入れてしまいました。後の計算を楽にするためです)
ｘ＝１２(＝(3/2)λ)　の変位は　ｔ＝０では　ｙ2＝０　ですが、
ｔ＝Ｔ/4　のとき、固定端反射なので、ｙ2＝－Ａ　となっているはずです。
　ｙ2＝Ａ・sin(2π・((Ｔ/4)/Ｔ＋((3/2)λ)/λ＋σ)＝－Ａ
これを位相に着目して解くと
　2π・((Ｔ/4)/Ｔ＋((3/2)λ)/λ＋σ)＝－π/2
　σ＝８
となります。位相部だけを書くと
　2π・(ｔ/Ｔ＋ｘ/λ＋８)
　＝2π・(ｔ/Ｔ＋ｘ/λ)＋１６π
位相が２πずれても変位は同じになりますから、16π の部分は省略してしまって構いません。
∴ｙ2＝Ａ・sin 2π・(ｔ/Ｔ＋ｘ/λ)

求める変位Ｙは、ｔ＝24[s]，ｘ＝-6[m]を代入して計算できます。
　Ｙ＝－0.1・sin(2π・(24/8－(-6)/8))＋0.1・sin(2π・(24/8＋(-6)/8))
　＝＋0.2

お礼

遅くなってしまって申し訳ありません。
大変丁寧な解説ありがとうございました。身近に聞ける相手が居なかったので助かりました。

回答No.1

Quarks

反射波の先端がｘ＝－１２[m]の位置に来たときの、進行波の波形と反射波の波形を調べ、それらを合成した波形(観察される波形がこれです)を描きます。この、実際に観察される波形の、ｘ＝－６[m]の地点の変位を答えれば良いのです。
反射波の先端が、ｔ＝０でｘ＝１２[m]の位置に有り、ここからｘ軸の負の向きに進んで、ｘ＝－１２[m]の位置に達します。つまり、２４[m]進んでいるわけですが、これは、波長λ＝８[m]の３倍に当たります。
波形は時間経過と共に"移動"していますが、１波長進む毎に、同じ波形が再現しますので、進行波は、問題図からちょうど３波長分移動していて、問題図と較べて、山や谷位置が同じ波形になっているはずです※。
では、反射波はどのような波形になっているのか？　これが問題になります。
質問文には、不備があって、ｘ＝１２[m]の地点での反射が、固定端反射なのか自由端反射なのかが示されていません。どちらのタイプの反射だったのかによって、結果は全く違ってきます。また、変位を知るためには、波の振幅も必要ですが、これも示されていません(以下では、適当な数値として振幅＝２[m]とでもしておきましょうか)。
ちなみに、本件の課題だけなら、周期や速さを利用する必要がありません(知らなくても求まります)。

反射波の様子は、次のように作図することで調べます。これは、一般的な作図法ですから、身に付けておく必要があります
ｘ＝１２[m]の地点を点Ｐとし、Ｐ点を通ってｙ軸に平行な直線をＬとします。
まず、調べようとしている瞬間、進行波がＰ点を超えて右側まで伝わって行ったと仮定して、その波形を描きます(添付図の赤い線で描かれた波形です)。
(1)固定端反射の場合
　赤の波形を、点Ｐを中心として点対称に反転させた波形(添付図の青色の波形です)が、求める反射波です。
(2)自由端反射の場合
　赤の波形を、直線Ｌに対して線対称に折り返した波形(添付図の緑色の波形です)が、求める反射波です。

ｘ＝－６[m]の位置での変位ですが
問題になっている時点での、進行波の変位ｙ1＝＋２[m]
反射波の変位ｙ2＝－２[m]　(自由端反射の場合)　，　ｙ2＝＋２[m]　(固定端反射の場合)
ですから、求める変位ｙは
　ｙ＝ｙ1＋ｙ2＝…[m]　(自由端反射の場合)
　ｙ＝ｙ1＋ｙ2＝…[m]　(固定端反射の場合)
です。

※進行波や反射波は、直接観察することはできません。進行波と反射波とが干渉し合う場所では、合成波だけが観察されるからです。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。大変参考になりました。また質問文に不備があったことをお詫びします。
振幅は0.1[m]で固定端反射でした。
この問題なら作図でも解けるのですね。
この質問で速さと周期を書いたのは、問題の答えが波の変位を求める式y=Asin2π(t/T-x/λ)　で解答を出していたからなのですが、
この方法で答えを出すとしたらどうなるのでしょう？よろしければ御教授下さい。

自分は初期位相はπだけ早く、24[s]における原点での位相を求め、x=-6[s]ではそれより30[s]（原点から出てx=12[s]で反射してx=-6[s]まで届くのにかかる時間）だけ位相が遅れて届くのでy=0.1sin2π{（24/8-30/8）+π}と考えましたが、そうではないようです。

ちなみに解答には
反射波の位相はπだけずれるので、y=0.1sin{2π(36/8-30/8)+π}=0.1　
とだけ書かれていました。