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難問です
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(1)2<=k<=N+1のとき、P(N,k)を求めよ。 >組合せをC(m,n)、重複組合せをH(m,n)と書くと、 N個の箱に区別が出来ない(k-1)個の玉を入れる入れ方は全部で H(N,k-1)通り。同じく1個ずつ入れる入れ方はC(N,k-1)通り。 よって、k-1回目までに玉が2個入った箱ができない確率は C(N,k-1)/H(N,k-1)。k-1回目までに1個の玉が入った箱にk回目に 玉が入る確率は(k-1)/N。よって、丁度k回目に2個の玉が入った 箱ができる確率P(N,k)は P(N,k)={C(N,k-1)/H(N,k-1)}*(k-1)/N ={C(N,k-1)/C(N+k-2,k-1)}*(k-1)/N =(k-1)(N-1)!(N-1)!/(N-k+1)!(N+k-2)!・・・答 (2)lim(N→∞)1/N・logP(2N,N+1)を区分求積法をもちいて求めよ。 >(1)の答のNに2N、kにN+1を代入して P(2N,N+1)=N(2N-1)!(2N-1)!/N!(3N-1)! logP(2N,N+1)=logN+2log(2N-1)!-logN!-log(3N-1)!から lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N+1)=lim(N→∞)(1/N)*logN +2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!-lim(N→∞)(1/N)*logN! -lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)! lim(N→∞)(1/N)*logN=0だから lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N+1)=2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)! -lim(N→∞)(1/N)*logN!-lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)! ここで右辺第二項は lim(N→∞)(1/N)*logN!=lim(N→∞)(1/N)*{logN+log(N-1)+・・・ ・・・+log1} =lim(N→∞)(1/N)*{logNN/N+log(N-1)N/N+・・・+logN/N} =lim(N→∞)(1/N)*{NlogN+logN/N+log(N-1)/N+・・・+log1/N} =lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*{logN/N+log(N-1)/N+・・・ ・・・+log1/N} =lim(N→∞)logN+∫[0→1]logxdx=lim(N→∞)logN +{x(logx-1)}[0→1]=lim(N→∞)logN-1 右辺第一項を計算するために lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)(1/N)*log[(2N)(2N-1)(2N-2)・・・{2N-(N-1)}*N!] =lim(N→∞)(1/N)*[log(2N)+log(2N-1)+log(2N-2)・・・ ・・・+log{2N-(N-1)}+logN!] =lim(N→∞)(1/N)*[log(2N)+log(2N-1)+log(2N-2)・・・ ・・・+log{2N-(N-1)}]+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)(1/N)*[logN(2-0/N)+logN(2-1/N)+logN(2-2/N)・・・ ・・・+logN{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)(1/N)*[NlogN+log(2-0/N)+log(2-1/N)+log(2-2/N)・・・ ・・・+log{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*[log(2-0/N)+log(2-1/N) +log(2-2/N)・・・+log{2-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)logN+∫[0→1]log(2-x)dx+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)logN+∫[1→2]logtdt+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)logN+{x(logx-1)}[1→2]+lim(N→∞)(1/N)*logN! =lim(N→∞)logN+2log2-1+lim(N→∞)logN-1 =2lim(N→∞)logN+2log2-2 この結果から右辺第一項の(1/2)は lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!=lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!/(2N) =lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!-lim(N→∞)(1/N)*log(2N) =lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! -lim(N→∞)(1/N)*log2-lim(N→∞)(1/N)*logN =lim(N→∞)(1/N)*log(2N)!=2lim(N→∞)logN+2log2-2 よって右辺第一項は 2lim(N→∞)(1/N)*log(2N-1)!=4lim(N→∞)logN+4log2-4 同じく第三項を計算するために lim(N→∞)(1/N)*log(3N)! =lim(N→∞)(1/N)*log[(3N)(3N-1)(3N-2)・・・{3N-(N-1)}*(2N)!] =lim(N→∞)(1/N)*[log(3N)+log(3N-1)+log(3N-2)・・・ ・・・+log{3N-(N-1)}+log(2N)!] =lim(N→∞)(1/N)*[log(3N)+log(3N-1)+log(3N-2)・・・ ・・・+log{3N-(N-1)}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)(1/N)*[logN(3-0/N)+logN(3-1/N)+logN(3-2/N)・・・ ・・・+logN{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)(1/N)*[NlogN+log(3-0/N)+log(3-1/N)+log(3-2/N)・・・ ・・・+log{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)logN+lim(N→∞)(1/N)*[log(3-0/N)+log(3-1/N) +log(3-2/N)・・・+log{3-(N-1)/N}]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)logN+∫[0→1]log(3-x)dx+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)logN+∫[2→3]logtdt+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)logN+{x(logx-1)}[2→3]+lim(N→∞)(1/N)*log(2N)! =lim(N→∞)logN+3log3-2log2-1+2lim(N→∞)logN+2log2-2 =3lim(N→∞)logN+3log3-3 よって右辺第三項は lim(N→∞)(1/N)*log(3N-1)!=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!/3N =lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*log3N =lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*(log3+logN) =lim(N→∞)(1/N)*log(3N)!-lim(N→∞)(1/N)*log3 -lim(N→∞)(1/N)*logN=lim(N→∞)(1/N)*log(3N)! =3lim(N→∞)logN+3log3-3 以上から lim(N→∞)(1/N)*logP(2N,N+1) =4lim(N→∞)logN+4log2-4-lim(N→∞)logN+1-3lim(N→∞)logN -3log3+3=4log2-3log3=log2^4-log3^3=log(16/27)≒-0.52・・・答
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- MagicianKuma
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No2さんへ> >N個の箱に区別が出来ない(k-1)個の玉を入れる入れ方は全部でH(N,k-1)通り。 これをすべて同様に確からしいとするのはまずいのではないかい? 玉も区別して考えたほうが簡単なような気がするけど。
- MagicianKuma
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(2)ヒント P(2N,N+1)=2N/2N * (2N-1)/2N * (2N-2)/2N * ・・・ * (2N-(N-1))/2N * N/2N logP(2N,N+1)=log(2N/2N) + log((2N-1)/2N) + log((2N-2)/2N) + ・・・ + log(1/2) 順番を逆にして、logP(2N,N+1) = log(1/2)+log(1/2+1/2N)+log(1/2+2/2N)+log(1/2+3/2N)+・・・+log(1/2+(N-1)/2N)+log(1) ⊿x=1/2Nとおいて、Xi=1/2+i*⊿x i=0,1,2,・・・,N-1 とすると、 1/N * logP(2N,N+1)= 2 * ⊿x * (logX1 + logX2 +・・・+ logXN-1) あとはこれを積分形に直せばよい。
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