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整数と割り算に関する問題 再
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以下の３条件を満たす自然数をＮとすると 7で割ると5余る …（１） 9で割ると7余る …（２） 11で割ると3余る …（３） (1)から N+2は7の倍数 （2)から N+2は9の倍数 7と9は互いに素だからN+2は63の倍数であり N+2=63x （xは自然数） N=63x-2 …（４)とおける (3)から N+8は11の倍数であり N+8=11y (yは自然数） N=11y-8 …（５）とおける (4)(5)から 11y-8=63x-2 y=(3/11)(21x+2) …（６） x,yがともに自然数となる最小の組み合わせは 21x+2が11の倍数となる最小のxのときであり、 x=2 のとき21x+2=44=4・11から(x,y)=(2,12)である このときの N=124 が３条件を満たす最小のNである 求める３番目に小さいNの値は３番目に小さい(x,y)の自然数の組により得られる （６）において11と21は互いに素であるから、この式を満たすyが自然数となる自然数xの値は 最小のx=2 に11を次々に加えていくことによって得られる。 x=2,13,24,35,46…である したがって３番目に小さいのはx=24 であり、このときy=138, N=1510 となる 答え １５１０ 添付した図はy=(3/11)(21x+2) …（６）のグラフです この第１象限にあるx,yの値が小さい方から３番目の格子点C(24,138)が３番目に小さいNを与えます
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- alice_44
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A No.1 リンク先の回答で、x+2 を見つけるところは、 まあ、根性で見つけろと言ってもよかろうけれど、 x-124 を見つけるには、何かしらの探し方が必要 だろうとは思います。これを「勘で」ではアンマリかと。 x = 63K + 61 = 11L + 3 を解くには、まず、 63K + 61 = 11L + 3 を満たす K,L がどんなものかを探します。 そのとき使えるのが、いわゆる「ベズーの等式」です。 63 と 11 の最大公約数を、ユークリッドの互除法で求めると… 63 = 11・5 + 8, 11 = 8・1 + 3, 8 = 3・2 + 2, 3 = 2・1 + 1, 2 = 1・1 割り切った 1 が、最大公約数です。 これらの式を「 余り= 」の形に書き換えて、 1 = 3 - 2・1, 2 = 8 - 3・2, 3 = 11 - 8・1, 8 = 63 - 11・5 中間の余り 2,3,8 を、下の方の式を使って代入消去してゆくと、 1 = 3 - 2・1 = 3 - (8 - 3・2)・1 = 3・3 - 8 = (11 - 8・1)・3 - 8 = 11・3 - 8・4 = 11・3 - (63 - 11・5)・4 = 11・23 - 63・4 となって、1 が 63 と 11 の一次式で表せます。 上記の式をベズーの等式と言いますが、両辺を 61-3 倍すると、 61-3 = 11・(23・58) + 63・(-4・58) となって 63・232 + 61 = 11・1334 +3 と変形できます。 これと 63K + 61 = 11L + 3 を辺々引き算すると 63(K - 232) = 11(L - 1334) となり、 K - 232 = 11A, L - 1334 = 63A と書ける整数 A が在ることが判ります。 この K,L を x = 63K + 61 = 11L + 3 へ代入すれば、 x = 63(11A + 232) + 61 = 693(A + 21) + 124 です。 x が自然数になるのは、A ≧ -21 のときですから、 3 番目に小さい自然数は、A = -19 のとき x = 693・2 + 124 = 1510 と求められます。 一段階目の x+2 も、勘で見つけられなければ、 これと同様にして導いてもよいのです。 (勘で見つけられれば、勘のほうが早いけれど。)
- mamoru1220
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