• ベストアンサー

連続固有値をとる固有ベクトルは何故H空間の元でない

数学の板で質問したのですが、物理の問題と思われたのか、回答がないので、 こちらに質問します。 http://okwave.jp/qa/q7889089.html です。 よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.3

うーん、連続固有値とその固有ベクトルの定義を聞いたのに具体例を示されてもどうしたらいいのか分からないのですが。 数学的に厳密に取り扱いたいというのがあるのなら、まずは「連続固有値」の定義を確認する所から始めた方がいいでしょう。直感的なイメージだけでしか知らないものを、数学的に厳密な扱いをするのは無理だと思います。 よくある定義を前提にすると、 普通の意味の「固有ベクトル」が(ヒルベルト空間の中に)存在するのならば、そもそも「連続固有値」には分類しないというだけの話になるはずです。

その他の回答 (2)

  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.2

位置固有ケットの内積<x|x>が有限ではないということもありますが、それよりも、H空間は可算無限の次元を仮定しています。完備性どうのこうの、という以前に、連続固有値をとる空間は、連続体濃度の次元を持ちますから、数学的には極めてやっかいな取り扱いが必要になります。ですから、通常のH空間ではそのような「病的」な空間は対象外になります。

  • eatern27
  • ベストアンサー率55% (635/1135)
回答No.1

その真意はそう指摘された方に聞くのが筋だと思いますが。(twitterなら直接聞けますよね?) とりあえず 「連続固有値」 「連続固有値をとる固有ベクトル」 を貴方はどう定義していますか? >ノルム=自分自身との内積 と考えると、この値が、∞なら、元ではない まぁ、物理をやる分には仰るような理解でも十分だと思いますけど、数学的にきちんと扱うと正しくないでしょうね。 ノルム(内積)はヒルベルト空間で定義されているものですから、ノルムの値がいくらになるかを論じるためには、事前にヒルベルト空間の元である事が確かめられていなければいけません。

morimot703
質問者

お礼

僕は、ちょっと前まで 可分と可算無限の区別もつかないレベルで、 その方に質問した時、あきれられて 「数学的厳密性なんかにこだわらずに、もっと物理に専念しなさい」と言われて、 教えてくれませんでした。 おそらく、教えても理解できない と思われたと思います。 そんなわけで、ここで質問しました。 で、連続固有値については、固有ベクトルでは、どう表現していいかわからないので、 一番簡単な例:波動関数f(x)と演算子xで考えると、 xf(x)=af(x) aは、-∞から+∞ の連続値をとり、その中の1つの値をAとすると、 x=A で、固有関数は、f(x)自体。x≠A で固有関数は0(なし) この場合、連続固有値aをとる固有関数は、 f(a)=∫{-∞,+∞}δ(y-a)f(y)dy と思っています。

関連するQ&A

  • 解けない数学の問題なんてあり得るの?

    解けない数学の問題なんてあり得るの? って思うんですけど、未だに「空が落ちたらどうなるか」的なお話がされているみたいです。 たとえば、 ○×の不等式とか、 の数学的パドックスなんかです。 天文物理学のカテゴリーで、回答者Tacosan様が回答してるじゃないですか? 光が重力中心に向け曲げられるって在り得るの?2 http://okwave.jp/qa/q6250381.html 要するに最終定理 1=>0 だって言ってるじゃないですか。 解けない問題なんてあり得るのでしょうか?

  • 固有値、固有ベクトルの問題

    大学生です。数学の質問です。 問題) 次の初期値問題を解け(固有値、固有ベクトルを用いて解く) dy_1/dt = 3y_1 - 2y_2 dy_2/dt = -y_1 + 2y_2 y_1(0) = a, y_2(0) = b 固有値、固有ベクトルは授業で習いましたが、それで具体的に何を求めてどういった形で回答すればよいのか、問題の意味がよくわかっていません。親切な方、ぜひ回答よろしくお願いします。

  • 質問第二弾:コンピューター系の授業をとるとします。コンピューターサイエ

    質問第二弾:コンピューター系の授業をとるとします。コンピューターサイエンスって数学は絶対いりますが、物理はいるのでしょうか?プログラミング系はいりそうですが、情報とか…はいらないのかな・・・? というのも、トランスファーに必要な科目に化学又は物理、または動物学(なぜ)とかいてあったので・・・ 質問第一弾:http://okwave.jp/qa/q5970472.html こちらに背景が書いてあります。よければご回答お願いします

  • 空間ベクトル

    高1です 数学の質問があります。 四面体OABCがOA=1、OB=2、OC=3、 ∠AOB=60゜、∠BOC=60゜、∠COA=90゜ を満たしている。 △ABCの重心をGとするとき OGの長さを答えよ。 という問題の解き方を 教えてください。

  • 空間ベクトル

    問題■空間に3点A(2,0,1)、B(0,2,1)、P(0,0,p)がある。 点Q(x,y,z)が直線AB上にあるとき (x,y,z)=(2,0,1)+t(1,[ア],[イ])で表される。さらに、OQ⊥ABとなるとき、Qの座標は([ウ],[エ],[オ])。 ちなみに答えは [ア]-1 [イ]0 [ウ]1 [エ]1 [オ]1 です。 解答に辿り着くまでの過程が分からないので、回答よろしくお願いします。

  • 物理の力学の問題です2 添付画像のみ

       「物理の力学の問題です」のNo.1の方の「この回答へのお礼」中の質問に出てくる 重ねられた物体の問題の添付画像です。  質問のURL http://okwave.jp/qa/q8865284.html  この添付画像を見てください

  • 固有値、固有ベクトル、対角化...何のため?

    私は文系出身の32歳会社員です。 ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと 独学で最近始めました。 そこで... 本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが... (1)何のために固有値を求めるのでしょうか? (2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか? (3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか? 回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。 例) ・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。 ・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。 ・意味はない!目的はない!ただ数学として突き詰めているだけだ! ...などなど あっ、でも急を要している訳ではないので もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は お時間のある方はご回答いただければ幸いです。 ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学~線形代数・微分積分~です。 やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~; 本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

  • 行列(固有値と固有ベクトル) (1)固有値が√の固有ベクトル

    数学の行列の固有値と固有ベクトルの問題ですが、 (1  3) (2 -1) の固有値と固有ベクトルを求めたいのですが d(λ-1  -3) e(-2  λ+1) t (λ-1)(λ+1)-(-3)(-2)=0 λ^2 -1-6=0 λ^2 -7=0 λ=±√7 と固有値が出ると思うのですが、固有ベクトルを求める時、λ=√7の時、 (λ-1  -3)(x1) (0) (-2  λ+1)(x2)=(0)のλに√7を代入すると、 (√7 -1    -3)(x1) (0) (-2    √7 +1)(x2)=(0) になって、 固有ベクトルをどう求めるのかがわかりません。 √以外だと、左上を1にして求めていけばいいと思うのですが・・・

  • 固有ベクトルの求め方について

    数学の線形代数の問題で行き詰ってしまいました。 ご教授お願い致します。 3×3の行列 A= |3 2 4| |2 0 2| |4 2 3| の固有ベクトルを求める問題なのですが、 固有値は λ=-1,8 となました。 そこで、λ=-1に属する固有ベクトルを求めようとしているのですが、 その固有ベクトルが 2x + y + 2z =0 という式から得られるようです。 ここまでは理解できるのですが、 ここからどのようにして2つの固有ベクトル | 0 |    | 1 | | 2 |    | 0 | |-1 |   |-1 | を求めているのか、分かりません。 分かりにくい表現で申し訳ありませんが、ご存知の方がおられましたら よろしくお願い致します。

  • 連続固有値がなす集合の濃度は、X0ですかX1ですか

    物理の質問ですが、数学的に厳密な 回答が頂きたいので、ここで質問します。 ヒルベルト空間が稠密ということは、濃度が X0 と聞きました。 それなら、固有空間⊆ヒルベルト空間ですから、連続固有値のなす集合も、高々 X0  連続固有値は、連続 X1  じゃないことになります。 正確なところは、どうなのでしょうか?