行列の問題です。

質問

次の問題が分からなくて困っています。
解ける方、どうかお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
参考URL:ttp://www.math.nagoya-u.ac.jp/~shinichi/K115j.pdf
Aの固有方程式
det(tE-A)=(t-1)(t-4)^2=0
から固有値t=1,4,4を求め、固有ベクトル(1,1,1),(1,0,-1),(0,1,-1)を求める。
各固有ベクトルを列ベクトルとする正則行列Pを作る。
[1,1,0]
[1,0,1]
[1,-1,-1]
これが対角化する行列です。

[検算]
P^-1 A P=
[1,0,0]
[0,4,0]
[0,0,4]
となります。

(2)
参考URL:ttp://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf
2次形式φの係数行列Aは
[3,-1,-1]
[-1,3,-1]
[-1,-1,3]

Aの固有方程式det(tE-A)=(t-1)(t-4)^2=0
から固有値を求めると
t=1,4,4
従って求める標準形は
X^2 +4Y^2 +4Z^2

なお、φがx,y,zについて対称なので
4X^2+Y^2+4Z^2
または
4X^2+4Y^2+Z^2
でもいいでしょう。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

ereserve67

実二次形式の標準化の典型例題です．行列は3次正方行列，Eは3次単位行列とします．^Tは転置行列にする記号です．

[1]

まずX=(x,y,z)^Tとして，固有値方程式AX=λX(X≠0)を解きます．

（☆）(λE-A)X=0,X≠0

これが解をもつためには

det(λE-A)=[すべての対角成分がλ-3,すべての非対角成分が1の行列式]

=(λ-3)^3+1^3+1^3-{(λ-3)・1・1+(λ-3)・1・1+(λ-3)・1・1}

=(λ-3)^3-3(λ-3)+2={(λ-3)-1}{(λ-3)^2+(λ-3)-2}

=(λ-4)(λ^2-5λ+4)=(λ-4)^2(λ-1)=0

λ=4,1

☆を解きます．

(1)λ=4のときλE-A=4E-A=[成分すべて1の行列]だから

☆：x+y+z=0

X=(x,y,-x-y)^T=x(1,0,-1)^T+y(0,1,-1)^T

Xは(1,0,-1)と(0,1,-1)の線形結合です．したがってこの場合の固有ベクトルとして(1,0,-1)±(0,1,-1)=(1,1,-2),(1,-1,0)を規格化したものをとる

X_1=(1/√6)(1,1,-2)^T
X_2=(1/√2)(1,-1,0)^T

これらは直交し，もう一つの固有値1に属する固有ベクトルとも直交する（実対称行列の固有値問題の一般論）．

(2)λ=1のときE-A=[すべての対角項が-2,すべての非対角項が1の行列]だから

☆：-2x+y+z=0,x-2y+z=0,x+y-2z=0

第1式から第2式を引き，第2式から第3式を引くとx=y,y=zとなるので固有ベクトルとして

X_3=(1/√3)(1,1,1)^T

こうして直交行列

P=(X_1 X_2 X_3)

をつくると，

P^{-1}=P^T

P^TAP=diag[4,4,1]（対角成分が左上から4,4,1の対角行列)

（答）((1/√6,1/√6,-2/√6)^T,(1/√2,-1/√2,0)^T,(1/√3,1/√3,1/√3)^T)

[2]

φ=X^TAX

とかけます．これに座標変換X=PU,U=(u,v,w)^Tを施すと

φ=(PU)^TA(PU)=U^T(P^TAP)U=U^Tdiag[4,4,1]U

=4u^2+4v^2+w^2（答）

お礼

ありがとうございます。