ベクトルの式変形です。a↑/{a↑・a↑}から

質問

1/a↑、
a↑/a↑から１、
{（a↑・a↑）・ｂ↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}から{（a↑・b↑）・a↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}よりa↑/a↑はできないんですか？

|a↑|/{|a↑|・a↑}から1/a↑、
{（a↑・b↑）・a↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}からa↑/a↑はできるんですか？

ベクトルを一つ同士で割ることや、最初からカッコ内にいれられているベクトルの内積は組み替えることはできないんですか？

ベクトルの大きさを一つ同士で割ることや、ベクトルの内積を組み替えずに割ることはできるんですか？

画像の問題からそう思いました。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

「高校数学の外積はスカラー」は、ダウト。
高校数学では外積は習わない…が正解。
習わないからって、違うものを習うことなはい。
大学数学で出てくる「外積」には、実は
「クロス積」と「ウェッジ積」の２種類があり、
ナゼか両方とも外積と呼んでしまうのだが、
昔、高校数学で教えていたのも、現在、一部の塾
では教えてしまうのも、A No.2 で触れたのも、
「ベクトル積」とも呼ばれるクロス積のほう。
ベクトル積の長さが、A No.4 に書かれた積になる。

「a↑・(a↑・b↑) は定義されない」も、ダウト。
括弧の外の・は、ベクトルとスカラーの積だから、
当然、内積ではないが、ベクトル・スカラー という
積の書き方も、世間で普通に使われている。
演算記号を省略して (a↑・b↑)a↑ と書くほうが
より自然だが、a↑・(a↑・b↑) だって、ちゃんと
他人に伝わる。むしろ、パソコン固有の数学記号
* を使って a↑*(a↑・b↑) と書くほうが奇異で、
紙上に数式を記すときには、そんな書き方はしない。
断り無く * を使ったら「これは何の記号？」と
質問される…という意味では、a↑/b↑ と大差ない。

お礼

ありがとうございます。

クロス積がベクトル積でベクトルを表し、青チャの検討にのってたのもこれなんですね。確かに教科書には載ってないです。

a↑・(a↑・b↑) は定義されないわけじゃないんですね。関数ｙが同じ問題の中で、いろんなものを表す場合があるのと同じ感じなですね。

*をパソコン以外で使うのは好ましくないんですね。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足の質問について

>{a↑・（ｂ↑・a↑）}はｂ↑・a↑を実数ｓとおいて、ｓa↑のベクトルを表しそう（定義されてそう）なんですが違うんですか？
中点の「・」はベクトルの内積の演算記号として使います。またバツ記号「×」はベクトルの外積の演算記号として使います。
普通の数値定数（スカラー）a,b,cの積の記号は「*」の演算記号を使ってa*b*cまたは演算記号を省略してabcのように表します。
従って

「a↑・（ｂ↑・a↑）」の書き方は存在しません（定義されていないので間違い）。
内積の記号「・」の前と後はベクトルでなくてはいけません。
つまり、ベクトルの「a↑」とスカラーの「ｂ↑・a↑」の内積はありえません（未定義）。あるとすれば「*」または演算記号を省略した普通の積となります。

すなわち、「a↑・（ｂ↑・a↑）」の書き方は間違いで
「a↑（ｂ↑・a↑）」または「（ｂ↑・a↑）a↑」となります。定数（スカラー）とベクトルの積なので
演算結果はベクトルとなります。
また、内積は交換則が成り立ちます。また定数（スカラー）とベクトルの積も交換則が成り立ちます。

外積はベクトル積とも言われ、「a↑×b↑」のように表し、
交換則は成り立たす「a↑×b↑=－b↑×a↑」と符号が反転します。演算結果はベクトルとなります。
但し、高校数学ではベクトル積と言わず、外積の定義は
　a↑×b↑=|a↑|*|b↑|sinθ　（θはベクトルa↑とb↑の成す角）
であり交換側が成立します(外戚はスカラー)。
大学数学以上では外積はベクトル積と同じ意味で使われ、
　ベクトル積「a↑×b↑」はベクトルc↑(=a↑×b↑)となり
　大きさ|c↑|は|a↑×b↑|sinθ　（高校数学の外積と同じ）
　ベクトルc↑の方向（向き）は　a↑とb↑に垂直に右ねじをおいて、a↑をb↑に重ねるように回転したとき右ねじが進む方向と定義されています。
大学以上では、ベクトル積（外積）がベクトルなので、ベクトルの向きがあります。交換則は「a↑×b↑=-b↑×a↑」となります。

>あと質問の内容を変えて、
>{|a↑|・ｂ↑｝/|a↑|からｂ↑　←×
>{（a↑・b↑）・a↑}/{３・（ｂ↑・a↑）}からa↑/３　←×
>はできるんですか？

{|a↑|・ｂ↑｝/|a↑|はスカラー÷スカラーなのでスカラー（数値定数）です。b↑はベクトルなので
スカラーとベクトルは等しくなりえません。
「（a↑・b↑）・a↑」と「{３・（ｂ↑・a↑）」はありえません（未定義）ので
その割り算には意味がありません。意味がない（未定義）式がベクトル「a↑/３」に等しいと言えません。
「{（a↑・b↑）a↑}/{３（ｂ↑・a↑）}」であれば、
分子のスカラー「（a↑・b↑）」と分母のスカラー「（ｂ↑・a↑）」は約分できて
ベクトル「a↑/３」に等しくなります。
たかが「・」と言えども内積の演算記号「・」と（普通の数値の）積の演算記号「*」(省略可)とは演算の意味が全く異なります。ちゃんと区別して使い分けてください。
なお、内積は
　a↑・b↑=|a↑|*|b↑|cosθ　(θはベクトルa↑とベクトルb↑の成す角度）
で定義されます。勿論、内積はスカラー（数値定数）になります。

なお、数学は定義を拡張できる学問ですから、既存の数学と矛盾なく拡張できれば、ベクトルで割る演算も新しく定義して、その定義のもとで演算することは自由です。定義の拡張は自由ですが、その定義が一般知識として普及した定義でなければ、無条件では使えません。毎回演算の定義を明確にしてから使う必要です。ベクトルでの割り算の定義は、一般に周知された知識として普及していない現状では、未定義として扱われますので、ベクトルによる割り算は認められていないとするのが一般的です。

この意味で
>ベクトルの大きさを一つ同士で割ることや、ベクトルの内積を組み替えずに割ることはできるんですか？
は、「できない」（ベクトルでの割り算はできない）とするのが正解でしょう。

お礼

ありがとうございます。

＞中点の「・」はベクトルの内積の演算記号として使います。またバツ記号「×」はベクトルの外積の演算記号として使います。
そうだったんですね。ちゃんと使い分けれてなかったです。

＞a↑×b↑=|a↑|*|b↑|sinθ　（θはベクトルa↑とb↑の成す角）
青チャでも出でない定義（知らないもの）ですが、これは高校数学にでるんですね。あと、外積はベクトル（こっちは青チャでちょこっと載ってます）になって、この公式はベクトル積だからスカラーになるんですね。

＞なお、数学は定義を拡張できる学問ですから、既存の数学と矛盾なく拡張できれば、ベクトルで割る演算も新しく定義して、その定義のもとで演算することは自由です。定義の拡張は自由ですが、その定義が一般知識として普及した定義でなければ、無条件では使えません。毎回演算の定義を明確にしてから使う必要です。ベクトルでの割り算の定義は、一般に周知された知識として普及していない現状では、未定義として扱われますので、ベクトルによる割り算は認められていないとするのが一般的です。

意外と自由にいろいろできるんですね。

回答No.2

alice_44

内積は、ベクトル・ベクトル の値がスカラーだから、
その逆演算として ベクトル/ベクトル を考えることは不可能。

話を実三次元ベクトルに限れば、
外積は、ベクトル×ベクトル の値がベクトルだから、
その逆演算として ベクトル/ベクトル を定義することは
できないでもない。

ただし、そのようなベクトルの割り算は、普及していないから、
説明無しでイキナリ使うことはできないし、
定義して使うにしても、a↑/b↑ が v↑×b↑=a↑ となる v↑ のことか、
b↑×v↑=a↑ となる v↑ のことかなど、
十分な説明を付けておかねばならないだろう。

また、この「割り算」は、三次元以外のベクトルには
拡張できない。

お礼

外積からそうもっていくこともできるんですね。でも自分は使わないだろうと思います。

ありがとうございました。

回答No.1

info22_

>a↑/{a↑・a↑}から1/a↑　　←　×

1/a↑　は定義されていない。

>a↑/a↑から１　　　←　×

ベクトルa↑で割ることはできない。

>{（a↑・a↑）・ｂ↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}から{（a↑・b↑）・a↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}より
a↑/a↑はできないんですか？　　　←　×

（a↑・a↑）・ｂ↑　←定義されない。内積はベクトル同士で定義可能。
　　　　　　　　　　　（a↑・a↑）はベクトルでない。
　a↑・（ｂ↑・a↑）　←定義されない。内積はベクトル同士で定義可能。
　　　　　　　　　　　（b↑・a↑）はベクトルでない。
（a↑・b↑）・a↑）　←定義されない。内積はベクトル同士で定義可能。
　　　　　　　　　　　（a↑・b↑）はベクトルでない。
a↑・（ｂ↑・a↑）　←定義されない。内積はベクトル同士で定義可能。
　　　　　　　　　　　（b↑・a↑）はベクトルでない。
a↑/a↑　←定義されない。ベクトルa↑で割ることはできない。

>|a↑|/{|a↑|・a↑}から1/a↑ 　　　←　×

|a↑|・a↑　　　　←　×、|a↑|はスカラーなのでスカラーとベクトルの内積は未定義。
ベクトルa↑での割り算は未定義。

>{（a↑・b↑）・a↑}/{a↑・（ｂ↑・a↑）}からa↑/a↑はできるんですか？　←　×

（a↑・b↑）・a↑　と　a↑・（ｂ↑・a↑）　は未定義
　a↑/a↑　は未定義

>ベクトルを一つ同士で割ること 　←　×

>最初からカッコ内にいれられているベクトルの内積は組み替えることはできないんですか？

できません。

スカラーとベクトルの積は可能
ベクトルとベクトルの積には
　内積と外積が定義されている。
　内積は「a↑・b↑」で表し、内積の結果はスカラー
　外積は「a↑×b↑」で表し、外積の結果はベクトル
となる。

ベクトルはスカラーで割ることはできる。
ベクトルはベクトルで割ることはできない（つまり未定義）。

ということです。

お礼

ありがとうございます。そうだったんですね。

一つ思ったんですが、{a↑・（ｂ↑・a↑）}はｂ↑・a↑を実数ｓとおいて、ｓa↑のベクトルを表しそう（定義されてそう）なんですが違うんですか？

あと質問の内容を変えて、{|a↑|・ｂ↑｝/|a↑|からｂ↑
{（a↑・b↑）・a↑}/{３・（ｂ↑・a↑）}からa↑/３はできるんですか？