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平面ベクトル・(a→・b→)^2=|a→|^2・|b→|^2 この式は正しいのでしょうか?

aベクトルを a→ bベクトルを b→ と表します。また |a→|^2 はaベクトルの長さの2乗 |b→|^2 はbベクトルの長さの2乗 a→・b→ はaベクトルとbベクトルの内積 を意味します。 本題ですが、aベクトルとbベクトルの内積a→・b→を2乗したもの (a→・b→)^2は (a→・b→)^2 =(a→・b→)×(a→・b→) =a→・a→・b→・b→ =|a→|^2×|b→|^2 で合っているでしょうか?

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正しくありません。 成り立つのは (a→)//(b→) の時のみです。 >=(a→・b→)×(a→・b→) >=a→・a→・b→・b→ この変形が正しくないです。 2行目が何を表すか?不可解な式です。 内積は2つのベクトルの積です。そしてその積はスカラー量(ベクトルでない単なる数値)です。別の内積間を跨いで、ベクトルの交換や順序を入れ替えることはできません。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >正しくありません。 そうでしたか・・・。ご指摘ありがとうございます。 >この変形が正しくないです。 ご指摘の通り、この変形が合っているかという事が最大の疑問でした。そもそも内積自体がなんのためにあるのかが、わからないのでごちゃごちゃだったのです。 >別の内積間を跨いで、ベクトルの交換や順序を入れ替えることはできません。 理由はわかりませんが、覚えておきます。

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  • 回答No.2
noname#56760

http://www.yuushirai.jp/shirai/Space/C8.GIF 先ずベクトルの内積ですが、↑の図を見れば分かるように射影です。(上から光を当てた時にできる影) 以上から長さの掛け算であり、同じ向きなら+、逆向きなら-、垂直なら0であることが分かります。 ですので =(a→・b→)×(a→・b→) =a→・a→・b→・b→ の変形は正しくないです。 (a→・b→)^2=|a→|^2・|b→|^2 は成り立つかということですが、なす角θ=0なら成り立ちます。 つまり(a→)//(b→)の時です。上で述べた影をイメージすれば、 θ=0の時だけなぜ成立するのかすぐ分かると思います。

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質問者からのお礼

ご回答ありがとうございます。 >=(a→・b→)×(a→・b→) =a→・a→・b→・b→ の変形は正しくないです。 ご指摘ありがとうございます。 >つまり(a→)//(b→)の時です。 そのときに成り立つと言うことが本に書いてあり、なぜ?と思ったのがこの疑問のきっかけでした。またわかりやすい図を教えてくださってありがとうございます。

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