アインシュタイン規約の具体的な演算について

質問

岩波書店の現代物理学叢書「電磁力学」を読んでおります。§7.2特殊相対性理論のところに、計量テンソルを含んだ計算式がありまして、その式がアインシュタインの規約にもとづく(Σ記号を省略した)表現で書いてありますので、なぜそうなるのか理解できずに困っております。ここには数式は正確に表現できませんので、添付資料に詳細を書きますので、具体的に分かりやすく解説していただきたく、よろしくお願いいたします。

回答No.2

heboiboro · ベストアンサー

> 回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は
> a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ
> となるように思うんですが、これが何故　g_λρと等しいのかが分からないんです。
たとえば λ=ρ=0 のとき、
a^0_0a^0_0-a^1_0a^1_0-a^2_0a^2_0-a^3_0a^3_0
= γ^2 - 0^2 - 0^2 - (-γβ)^2
= γ^2 (1-β^2)
ここで、γの定義が γ=1/√(1-β^2) ですので、γ^2(1-β^2) = 1 となります

他にたとえば λ=0, ρ=1 だったら、
a^0_0a^0_1-a^1_0a^1_1-a^2_0a^2_1-a^3_0a^3_1
= γ*0 - 0*1 - 0^2 - (-γβ)*0
= 0
となります

以上のように、基本的には各成分計算していけば、それぞれ g_λ_ρ に等しいことが分かると思います
ただやはり見通しが悪いので（もちろん実質的には同じことですが）行列の掛け算で考えたほうがすっきりする気がします

お礼

何度も解説いただきありがとうございました。
そういうことですね。
　λ、ρの全ての組合せについて
検討してみようと思います。

ただ、行列の積として計算すると、全く異なった
行列になったように思いますが・・・。

ありがとうございました。

回答No.3

ereserve67

ローレンツ変換

（☆）dx'^μ=a^μ_νdx^ν

は，世界距離

（★）ds^2=g_{μν}dx^μdx^ν

が不変になるように定義されたものです．線形代数で有名なように行列A=(a^μ_ν)は直交行列となることが知られていて，計量テンソルの行列G=(g_{μν})と次の関係にあります．

A^TGA=G

これは次のようにして証明されます．★は変換☆によって

ds'^2=g_{μν}dx'^μdx'^ν

=g_{μν}a^μ_λdx^λa^ν_ρdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ

となりますが，要請ds^2=ds'^2のため，

g_{λρ}dx^λdx^ρ=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρdx^λdx^ρ

となります．dxは任意だから

g_{λρ}=a^μ_λg_{μν}a^ν_ρ

これを行列でかくと，

G=A^TGA

となります．

質問者様はこれを具体的なA，Gの成分で確かめたいというのでしょう．しかし，上の理論で理解できればそれでよいと思います．どうしても確かめたければこの回答欄は一杯になるので

g_{11}=a^μ_1g_{μν}a^ν_1

だけ確認してみましょう．

左辺=-1

右辺=

a^0_1g_{11}a^0_1
+a^0_1g_{11}a^1_1
+a^0_1g_{11}a^2_1
+a^0_1g_{11}a^3_1
+a^1_1g_{11}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^1_1g_{11}a^2_1
+a^1_1g_{11}a^3_1
+a^2_1g_{11}a^0_1
+a^2_1g_{11}a^1_1
+a^2_1g_{11}a^2_1
+a^2_1g_{11}a^3_1
+a^3_1g_{11}a^0_1
+a^3_1g_{11}a^1_1
+a^3_1g_{11}a^2_1
+a^3_1g_{11}a^3_1

=

a^0_1g_{00}a^0_1
+a^0_1g_{01}a^1_1
+a^0_1g_{02}a^2_1
+a^0_1g_{03}a^3_1
+a^1_1g_{10}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^1_1g_{12}a^2_1
+a^1_1g_{13}a^3_1
+a^2_1g_{20}a^0_1
+a^2_1g_{21}a^1_1
+a^2_1g_{22}a^2_1
+a^2_1g_{23}a^3_1
+a^3_1g_{30}a^0_1
+a^3_1g_{31}a^1_1
+a^3_1g_{32}a^2_1
+a^3_1g_{33}a^3_1

=

a^0_1g_{00}a^0_1
+a^1_1g_{11}a^1_1
+a^2_1g_{22}a^2_1
+a^3_1g_{33}a^3_1

=a^0_1a^0_1-a^1_1a^1_1-a^2_1a^2_1-a^3_1a^3_1

=-1

よって左辺=右辺．

これをあと15回繰り返すわけですが，最初の理論を理解できればその必要はありません．

お礼

詳しい解説を、ありがとうございました。
私にとっては、相当難解なレベルですので、じっくり読ませていただきます。

回答No.1

heboiboro

a^μ_λ g_μν a^ν_ρ は、普通の記法で書けば、
Σ[μ=0, 4]Σ[ν=0, 4] a^μ_λ g_μν a^ν_ρ ですので、これを律儀に計算すればよいということになります。
あるいは今の和の記号Σを使った表式を見ると、これが行列の積 (aT)ga の (λ, ρ) 成分であることが分かるので、これを計算しても同じです。
（aはμ行ν列成分が a^μ_ν で与えられる行列、aTはその転値行列としました）

お礼

早速、回答いただきありがとうございました。
回答いただいた趣旨のことは理解しているつもりで、その結果は

　　　a^0_λa^0_ρ-a^1_λa^1_ρ-a^2_λa^2_ρ-a^3_λa^3_ρ

となるように思うんですが、これが何故　g_λρと等しいのかが分からないんです。