大学の数学の授業の課題が解けません。

質問

大学の数学の授業の課題が解けません。

集合Xに加法"＋"と乗法"."を定義したとき、次のそれぞれの性質を持つような代数の例を挙げて、分かりやすく説明せよ。
(1)1+1=1
(2)1+1=0
(3)a・b=a・c
a≠0であっても必ずしもb=cとはならない。

解答欄はA4一枚ほどあります。
分かりやすく説明しなければいけないようです💦
教えてください>_<

回答No.2

misumiss

下記URLに, 同じ問題と, その解答例やヒントが記載されています.
参考になさったら, いかがでしょう.
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1297890287
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1397937248

X を, 乗法の単位元 1 をもつ可換環に限定して, 回答します.
あまり詳しく見直していないので, 間違いがありましたら, 指摘なさってください.
(1) は, 1 = 0 がいえてしまうので, 零環くらいしか思い浮かびません.
∀x ∈ X に対して, x = 1x = 0x = (0 + 0)x となるので, x = 0 が導けてしまう.
あまりにも芸が無いけれど, 仕方ないですね.
(2) は, R = Z/6Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } のイデアルのうち,
A = { 0, 2, 4 } を考え, X = R/A とします.
X = { 0, 1 } で, 1 + 1 = 0 が成り立ちます.
(3) は, C を複素数体として, X = C[x]/(x^2) を考えましょう.
平凡すぎる例ですが, X において,
x(x + 1) = x(2x + 1)
が成り立ちます.
そして, x ≠ 0 ですが, x + 1 = 2x + 1 とはなりません.

課題はレポートとして提出するのでしょうが, なるべく不完全な内容にとどめておくのが安全です.
完全なレポートを提出すると, 教員は, "みんな, よく理解できているな," と考えるので, 試験問題が, やたらと難しくなる可能性があります.

回答No.1

alice_44

「分かりやすく説明せよ」ってのは、明確に示しただけじゃ不足
だってことなんでしょうな。そういう注文をつける割には、
問題文が「分かりやすく」書かれていない。馬鹿なんでしょうか？

ただ、集合 X に２個の演算 "＋" "・" を定義するだけでいいなら。
(1)や(2)や(3)の式を定義の一部に含めてしまうだけでオシマイです。
どんな演算だって好きに定義できるんだから、それで問題ない。

おそらく、これは、環の定義を理解しましたか？という問題で、
その「加法」「乗法」で X が環になる…という条件がついている
のだと、勝手に想像します。そのような例としては、
(1) 自明環 { 1 }
(2) 二元環 Z/2Z
(3) 行列環
などが挙げられます。これらの例が条件を満たしていることを
検証して、その過程を答案用紙に書けばいいんじゃないですかね。