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大学の数学の授業の課題が解けません。

大学の数学の授業の課題が解けません。 集合Xに加法"+"と乗法"."を定義したとき、次のそれぞれの性質を持つような代数の例を挙げて、分かりやすく説明せよ。 (1)1+1=1 (2)1+1=0 (3)a・b=a・c a≠0であっても必ずしもb=cとはならない。 解答欄はA4一枚ほどあります。 分かりやすく説明しなければいけないようです💦 教えてください>_<

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  • 回答No.2

下記URLに, 同じ問題と, その解答例やヒントが記載されています. 参考になさったら, いかがでしょう. http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1297890287 http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1397937248 X を, 乗法の単位元 1 をもつ可換環に限定して, 回答します. あまり詳しく見直していないので, 間違いがありましたら, 指摘なさってください. (1) は, 1 = 0 がいえてしまうので, 零環くらいしか思い浮かびません. ∀x ∈ X に対して, x = 1x = 0x = (0 + 0)x となるので, x = 0 が導けてしまう. あまりにも芸が無いけれど, 仕方ないですね. (2) は, R = Z/6Z = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } のイデアルのうち, A = { 0, 2, 4 } を考え, X = R/A とします. X = { 0, 1 } で, 1 + 1 = 0 が成り立ちます. (3) は, C を複素数体として, X = C[x]/(x^2) を考えましょう. 平凡すぎる例ですが, X において, x(x + 1) = x(2x + 1) が成り立ちます. そして, x ≠ 0 ですが, x + 1 = 2x + 1 とはなりません. 課題はレポートとして提出するのでしょうが, なるべく不完全な内容にとどめておくのが安全です. 完全なレポートを提出すると, 教員は, "みんな, よく理解できているな," と考えるので, 試験問題が, やたらと難しくなる可能性があります.

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  • 回答No.1
  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4758)

「分かりやすく説明せよ」ってのは、明確に示しただけじゃ不足 だってことなんでしょうな。そういう注文をつける割には、 問題文が「分かりやすく」書かれていない。馬鹿なんでしょうか? ただ、集合 X に2個の演算 "+" "・" を定義するだけでいいなら。 (1)や(2)や(3)の式を定義の一部に含めてしまうだけでオシマイです。 どんな演算だって好きに定義できるんだから、それで問題ない。 おそらく、これは、環の定義を理解しましたか?という問題で、 その「加法」「乗法」で X が環になる…という条件がついている のだと、勝手に想像します。そのような例としては、 (1) 自明環 { 1 } (2) 二元環 Z/2Z (3) 行列環 などが挙げられます。これらの例が条件を満たしていることを 検証して、その過程を答案用紙に書けばいいんじゃないですかね。

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