Σ計算が分かりません

質問

Σ［k=1,n］2k+1/k(k+1)(k+2)を求めよ。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

Σ_{k=1}^n{k+(k+1)}/{k(k+1)(k+2)}=Σ_{k=1}^n1/(k+1)(k+2)+Σ_{k=1}^n/k(k+2)

ここで

Σ_{k=1}^n1/(k+1)(k+2)=Σ_{k=1}^n{(k+2)-(k+1)}/(k+1)(k+2)=Σ_{k=1}^n{1/(k+1)-1/(k+2)}
=(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+・・・+(1/(n+1)-1/(n+2))=1/2-1/(n+2)={(n+2)-2}/{2(n+2)}=n/{2(n+2)}

Σ_{k=1}^n1/k(k+2)=Σ_{k=1}^n(1/2){(k+2)-k}/k(k+2)=(1/2)Σ_{k=1}^n{1/k-1/(k+2)}
=(1/2){(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+・・・+(1/(n-2)-1/n)+(1/(n-1)-1/(n+1))+(1/n-1/(n+2))}
=(1/2){1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)}=3/4-(2n+3)/{2(n+1)(n+2)}={3(n+1)(n+2)-2(2n+3)}/{4(n+1)(n+2)}=n(3n+5)/{4(n+1)(n+2)}

ゆえに

Σ_{k=1}^n{k+(k+1)}/{k(k+1)(k+2)}=n/{2(n+2)}+n(3n+5)/{4(n+1)(n+2)}={2n(n+1)+n(3n+5)}/{4(n+1)(n+2)}
=n(2(n+1)+(3n+5)}/{4(n+1)(n+2)}=n(5n+7)/{4(n+1)(n+2)}（答）

お礼

丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

5/4 - (5n+7)/{2(n+1)(n+2)}
みたいでもある。

回答No.4

178-tall

勘定、錯誤だらけ。

　7/4 - (5n+7)/{2(n+1)(n+2)}
みたいでもある。
蒙御免。

回答No.3

178-tall

一部訂正。

上記和は、

　2 - 1/(n+1) - (3/2)/(n+2)
　= 2 - (5n+7)/{2(n+1)(n+2)}

なのかな？

回答No.2

178-tall

n
　Σ (2k+1)/{k(k+1)(k+2)} の求値問題、としてみます。
　k=1

　(2k+1)/{k(k+1)(k+2)} = (1/2)/k + 1/(k+1) - (3/2)/(k+2)

らしいので、上記和は、

　2 - 1/(n+1) - (3/2)/(n+2)
　= 2 - (3n+7)/{2(n+1)(n+2)}

なのかな？

お礼

解答ありがとうございました。