シグマ計算

質問

初めて質問させて頂きます。
以下の式はどのようにしたら求まりますか？

Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k

回答No.4

arrysthmia

そのΣの式を、ボーっと眺めていると、
f(x) = (ax~2+bx+c)/2~x と置けば、
f(k) - f(k-1) = k(k+1)/2~k が恒等式になる
ような a,b,c が在ることに気づきます。
どうやって気づくのかって？
インドの女神が、夢で教えてくれるんですよ。
係数比較をして、連立一次方程式を解けば
終わり。

回答No.3

nag0720

視覚的に解いてみます。

p=Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k=1*2/2+2*3/4+3*4/8+4*5/16+5*6/32+・・・・

1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2
を利用すると、

p=(1)/1
　+(1+2)/2
　+(1+2+3)/4
　+(1+2+3+4)/8
　+(1+2+3+4+5)/16
　+(1+2+3+4+5+6)/32
　+・・・・・・・・
これを1の係数,2の係数,3の係数・・でまとめると、
p=(1/1+1/2+1/4+・・・・)*1
　+(1/2+1/4+1/8+・・・・)*2
　+(1/4+1/8+1/16+・・・・)*3
　+(1/8+1/16+1/32+・・・・)*4
　+(1/16+1/32+1/64+・・・・)*5
　+・・・・・・・・
　=(1/1+1/2+1/4+・・・・)*1
　+(1/1+1/2+1/4+・・・・)*2/2
　+(1/1+1/2+1/4+・・・・)*3/4
　+(1/1+1/2+1/4+・・・・)*4/8
　+(1/1+1/2+1/4+・・・・)*5/16
　+・・・・・・・・
　=(1/1+1/2+1/4+・・・・)*(1+2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・)

1/1+1/2+1/4+・・・・=2
1+2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・=4　（http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5289497.html　でこの答は出てます）
だから、

p=2*4=8

回答No.2

info22

f(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^(n+1)={1-x^(n+2)}/(1-x)
f'(x)=1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n={x^n*(n*x-n-1)+1}/(x-1)^2
f''(x)=2+3*2x+...+(n+1)nx^(n-1)
=[x^(n-1)*{(n^2-n)*x^2+(2-2*n^2)*x+n^2+n}-2]/(x-1)^3
g(x)=xf''(x)
=2x+3*2x^2+...+(n+1)nx^n
=[x^n*{(n^2-n)*x^2+(2-2*n^2)*x+n^2+n}-2x]/(x-1)^3
g(1/2)=(1/2)f''(1/2)
=1*2/2+3*2/2^2+...(n+1)n/2^n　←これが求める式の展開形
=Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k　←求める式
　　=[2^(-n)*{(n^2-n)*2^(-2)+(2-2*n^2)/2+n^2+n}-1]/(1/2-1)^3
=　...
　　　↑
後は式を整理するだけですのでやってみて下さい。

回答No.1

Tacosan

cf. http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5289497.html