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シグマ計算

初めて質問させて頂きます。 以下の式はどのようにしたら求まりますか? Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k

みんなの回答

  • arrysthmia
  • ベストアンサー率38% (442/1154)
回答No.4

そのΣの式を、ボーっと眺めていると、 f(x) = (ax~2+bx+c)/2~x と置けば、 f(k) - f(k-1) = k(k+1)/2~k が恒等式になる ような a,b,c が在ることに気づきます。 どうやって気づくのかって? インドの女神が、夢で教えてくれるんですよ。 係数比較をして、連立一次方程式を解けば 終わり。

  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.3

視覚的に解いてみます。 p=Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k=1*2/2+2*3/4+3*4/8+4*5/16+5*6/32+・・・・ 1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2 を利用すると、 p=(1)/1  +(1+2)/2  +(1+2+3)/4  +(1+2+3+4)/8  +(1+2+3+4+5)/16  +(1+2+3+4+5+6)/32  +・・・・・・・・ これを1の係数,2の係数,3の係数・・でまとめると、 p=(1/1+1/2+1/4+・・・・)*1  +(1/2+1/4+1/8+・・・・)*2  +(1/4+1/8+1/16+・・・・)*3  +(1/8+1/16+1/32+・・・・)*4  +(1/16+1/32+1/64+・・・・)*5  +・・・・・・・・  =(1/1+1/2+1/4+・・・・)*1  +(1/1+1/2+1/4+・・・・)*2/2  +(1/1+1/2+1/4+・・・・)*3/4  +(1/1+1/2+1/4+・・・・)*4/8  +(1/1+1/2+1/4+・・・・)*5/16  +・・・・・・・・  =(1/1+1/2+1/4+・・・・)*(1+2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・) 1/1+1/2+1/4+・・・・=2 1+2/2+3/4+4/8+5/16+・・・・・=4 (http://oshiete1.goo.ne.jp/qa5289497.html でこの答は出てます) だから、 p=2*4=8

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

f(x)=1+x+x^2+x^3+...+x^(n+1)={1-x^(n+2)}/(1-x) f'(x)=1+2x+3x^2+...+(n+1)x^n={x^n*(n*x-n-1)+1}/(x-1)^2 f''(x)=2+3*2x+...+(n+1)nx^(n-1) =[x^(n-1)*{(n^2-n)*x^2+(2-2*n^2)*x+n^2+n}-2]/(x-1)^3 g(x)=xf''(x) =2x+3*2x^2+...+(n+1)nx^n =[x^n*{(n^2-n)*x^2+(2-2*n^2)*x+n^2+n}-2x]/(x-1)^3 g(1/2)=(1/2)f''(1/2) =1*2/2+3*2/2^2+...(n+1)n/2^n ←これが求める式の展開形 =Σ[k=1,n]k(k+1)/2^k ←求める式   =[2^(-n)*{(n^2-n)*2^(-2)+(2-2*n^2)/2+n^2+n}-1]/(1/2-1)^3 = ...    ↑ 後は式を整理するだけですのでやってみて下さい。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

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