積分の方法がわからない

質問

(1-expＤt)/(1+expＤt) をｔで不定積分したいです。
Ｄは定数です。

部分積分法で試してみたのですが、
上手く積分できません。
置換積分をやるのでしょうか？

(1)どうしていいのか分からないので積分の過程を詳しく書いていただけると助かります。

(2)普通に積分する方法のほかにtanhとおく方法があるようなのですが、
tanhにどうおくのでしょうか？どう考えてもtanhの定義に当てはまりません・・・・・

２点について宜しくお願いします。

回答No.5

info22_

>部分積分法で試してみたのですが、
部分積分法ではなく部分分数展開法を使用します。

(1)
I=∫(1-exp(Ｄt))/(1+exp(Ｄt)) dt
=∫{1-2(exp(Dt)/(1+exp(Dt)))} dt
=∫1dt-2∫exp(Dt)/(1+exp(Dt)) dt
=t-(2/D)ln(1+exp(Dt)) + C (Cは積分定数,ln()は自然対数)

(2)
tanhの形にするために分子,分母を exp(Dt/2)でわります。

I=-∫(exp(Dt/2)-exp(-Ｄt/2))/(exp(Ｄt/2)+exp(-Dt/2)) dt
=-∫sinh(Dt/2)/cosh(Dt/2) dt
=-∫tanh(Dt/2)dt

I=-∫sinh(Dt/2)/cosh(Dt/2) dt
=-(2/D)∫{cosh(Dt/2)}'/cosh(Dt/2) dt
=-(2/D)ln{cosh(Dt/2)} +C (Cは積分定数,ln()は自然対数) ...(★)

(チェック)(★)を変形すると
I=t-(2/D)ln(1+exp(Dt)) +(2/D)log(2) + C
=t-(2/D)ln(1+exp(Dt)) + C'（積分定数を改めてC'とおく）
となり(1)の積分結果と定数分が異なるだけで、不定積分としては同じになります。

回答No.4

ereserve67

ANo.1です．(1)の方法も紹介しておきましょう．D≠0とします．

∫{(1-e^{Dt})/(1+e^{Dt})}dt=(1/D)∫{(1-e^{Dt})/(1+e^{Dt})}d(Dt)=(1/D)∫{(1-e^y)/(1+e^y)}dy(y=Dt)

ここで

∫{(1-e^y)/(1+e^y)}dy=∫{(2-(1+e^y))/(1+e^y)}dy=2∫1/(1+e^y)dy-∫dy=2∫e^ydy/(e^y(1+e^y))-y
=2∫d(e^y)/(e^y(1+e^y))-y=2∫du/(u(1+u))-y(u=e^y)
=2∫{(1+u)-u}/(u(1+u))}du-y=2∫{1/u-1/(1+u)}du-y=2(log(u)-log(1+u))-y
=2(log(e^y)-log(1+e^y))-y=2(y-log(1+e^y))-y=y-2log(1+e^y)=Dt-2log(1+e^{Dt})

ゆえに

∫{(1-e^{Dt})/(1+e^{Dt})}dt=t-(2/D)log(1+e^{Dt})

※積分定数は省略．

回答No.3

178-tall

まず (2) から。
{1-exp(Dt)}/{1+exp(Dt)}
= {exp(-Dt/2)-exp(Dt/2)}/{exp(-Dt/2)+exp(Dt/2)}　　　…(*)
= -tanh(Dt/2) 。

∫tanh(x) = LN(cosh(x)) + C だそうです。<LN(*)は * の自然対数>

(1) これは (2) を見ての着想。
{exp(-Dt/2)-exp(Dt/2)} = -(2/D){exp(-Dt/2)+exp(Dt/2)}'　だから、
(*) は、-(2/D){exp(-Dt/2)+exp(Dt/2)}'/{exp(-Dt/2)+exp(Dt/2)} と表せる。
これは、-kf'/f の形で、LN(kf) を微分した式に相当。

回答No.2

151A48

(1) x=expDt とおくと dt=(1/Dx)dx　求める積分は
(1/D)∫((1-x)/(1+x)x )dx=(1/D)∫((1/x)-(2/(x+1)))dx
と変形できる。

回答No.1

ereserve67

(2)でやりましょう．D≠0を仮定します．

(1-expＤt)/(1+expＤt)=exp(Dt/2)(exp(-Dt/2)-exp(Dt/2))/exp(Dt/2)(exp(-Dt/2)+exp(Dt/2))
=(exp(-Dt/2)-exp(Dt/2))/(exp(-Dt/2)+exp(Dt/2))=-(exp(Dt/2)-exp(-Dt/2))/(exp(Dt/2)+exp(-Dt/2))
=-sinh(Dt/2)/cos(Dt/2)=-tanh(Dt/2)

よって不定積分は

-∫tanh(Dt/2)dt=-(2/D)∫tanh(Dt/2)d(Dt/2)=-(2/D)∫tanh(x)dx(x=Dt/2)

ここで

∫tanh(x)dx=∫{sinh(x)/cosh(x)}dx=∫{d(cosh(x))/cosh(x)}dx=log(cosh(x))=log{(e^x+e^{-x})/2}
=log{(e^{2x}+1)/(2e^x)}=log(e^{2x}+1)-x-log2

よって，

-(2/D)∫tanh(x)dx=-(2/D)(log(e^{2x}+1)-x)=(2/D)(x-log(exp(2x)+1))=t-(2/D)log(exp(Dt)+1)

※積分定数は適宜省略しました．