コンデンサー ジュール熱

質問

電気容量Ｃ[Ｆ]のコンデンサーを起電力Ｖ[Ｖ]の電池で充電するとき,抵抗で生じるジュール熱を求めよ。

解き方を教えてください

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回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

別解です。

電位差 V の定義から、電源から放電する電荷をQとすると、電源から放電するエネルギーEは VQ
CV = Q だから コンデンサに充電するときに電源から放電するエネルギーは E = CV^2

#1ボルトとは1クーロンの電荷に1ジュールのエネルギーを与える電位差

コンデンサに蓄えられるエネルギーは、コンデンサの両端の電圧を v, コンデンサに蓄えられた
電荷をq とすると

dq = Cdv だから
∫[0→V](v・dq/dt)dt = ∫[0→V]qdv = ∫[0→V]Cvdv = (1/2)CV^2

以上からエネルギー保存則より

抵抗が消費するエネルギーは C^2 - (1/2)CV^2 = (1/2)CV^2

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

No.1 です。

>ラプラス変換と電流のつながりがわかりません

ラプラス変換でインピーダンスを表すと

抵抗: R
コンデンサ: 1/(sC)
抵抗とコンデンサの直列: R + 1/(sC)

なので電流のラプラス変換はオームの法則を形式的に使って求められます。

I = V/(R + 1/(sC))

これをラプラス逆変換すれば 電流が求まります。

回答No.4

tadys

コンデンサCを抵抗Rを通して電圧Vまで充電する時の電流と、電圧Vまで充電されたコンデンサCから抵抗Rを通して放電する時の電流は同じです。
したがって、抵抗で発生するエネルギーは電圧Vまで充電されているコンデンサCが持っているエネルギーに等しくなります。
コンデンサのエネルギーは 0.5*C*V*V

これから分かるように、この場合に抵抗で発生する熱量は抵抗値に依存しません。

お礼

分かりました
ありがとうございました

回答No.3

Quarks

電源(電池)を、"電荷を送り出す「仕事」をする装置"として考えるのです。
電源の端子電圧がＶ[V]のとき、この電源が電荷ｑ[C]を送り出したとします(イメージとしては＋極から電子を吸いこみ、－側から送り出しています)。
このとき、電源がした仕事Ｗは
　Ｗ＝ｑ・Ｖ[J]
となります※。

コンデンサーに蓄えられる電荷Ｑ[C]は、電源が送り出したものですから、コンデンサーが充電される過程で、電源は
　Ｗ＝Ｑ・Ｖ[J]
の仕事をしたことになります。

仕事をされた物体は、その仕事の分だけ運動エネルギーを得るはずですから、送り出された電荷は運動エネルギーをＷ[J]持っていたはずです。が、本問では、充電が完了した後、電荷はコンデンサーの極板に"静止"していますから、充電の過程で、その運動エネルギーは別のエネルギーに変換されているはずです。
１つはもちろん、コンデンサーの静電エネルギー　Ｕ＝(1/2)Ｑ・Ｖ
そしてさらに、電荷が回路を流れるときに抵抗を通過するため、その過程で熱エネルギー(ジュール熱)が発生しています。

エネルギーの保存則から
　回路の抵抗で発生する熱エネルギー＝Ｗ－Ｕ
となるでしょう。　

※電源電圧と同じ電位差にある空間の２点Ｏ，Ｐを考えます。電位は、ＰがＯよりＶ[V]高いとします。いま。＋ｑ[C]の電荷をＰに置いて、そっと離したとします。電荷はＯに向かって静電気力を受けて加速します。電場が仕事をしたわけです。
電位差Ｖ[V]とは、単位電荷が電位差に従って移動する時、単位電荷に対してＶ[J]の仕事をする電位差のことですから
　電荷が受けた仕事＝電場がした仕事＝ｑ・Ｖ[J]
電源から電荷が送り出されるときも、同じ考え方を使えるはずです。

お礼

できました
ありがとうございました

回答No.2

rnakamra

まず、最終的にコンデンサに蓄えられる電荷Qを求めます。

次に、電池が電荷Qを移動させる仕事の大きさWを求めます。

コンデンサにQの電荷を蓄えた状態のエネルギーUを求めます。

ジュール熱=W-U
となります。

補足

ＱはＣＶですね
Wはどうやって求めるのでしょうか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

抵抗値は R とします。

電流は i は ラプラス変換などを使って求めると i = (V/R)e^(-t/(RC))

抵抗のジュール熱 = ∫[0～∞]i^2・Rdt = (1/2)CV^2

結局、抵抗値は無関係になります。
また抵抗で生じる熱とコンデンサに蓄えられるエネルギー((1/2)CV^2)
は同じになります。

補足

すみません、一応ラプラス変換の方法くらいは分かるのですが、ラプラス変換と電流のつながりがわかりません