確率

質問

こんにちは。いつもお世話になっております。
わからない問題があって投稿しました。回答、よろしくお願いします。

７個の数字2，2，2，3，3，4，4のうち4個を使って4桁の数をつくる。
（1）全部で何個の整数ができるか。
（2）3の倍数は何個できるか。

（1）は、今回の問題は0を含まないので、7P4でいいのかなと思ったのですが、回答欄が以上に大きく感じ、不安になりました。
（2）は、3の倍数なので一の位が3になればいいと思い、一の位を3にしようと思うのですが選択肢に3が二つあって悩みました。十の位から千の位は一の位に3を一つあてはめたと考えて残りの6個から3個選べばいいと考え、6P3だと思います。

間違っているところの指摘もお願いします。

回答No.4

suko22 · ベストアンサー

＞回答、ありがとうございます。
＞確認しましたが数え漏れはないと思います。
＞ありがとうございます。
＞3の倍数なのですが、求め方がよくわかりませんでした。

3の倍数になるのは、すべての桁の合計が3の倍数になるときです。
例えば、1251は1+2+5+1＝9で、9は3の倍数なので1251の倍数になります。
　　　実際1251÷3＝417

＃２の回答から、
------------
(1)2223　4!/3!=4・・・2+2+2+3＝9　よって2223の組み合わせで出来るすべての数は3の倍数・・・※1
(2)2224 4!/3!=4・・・2+2+2+4＝10　よって、3の倍数ではない
(3)2233 4!/(2!2!)=6・・・2+2+3+3＝10　3の倍数ではない
(4)2234 4!/2!=12・・・2+2+3+4＝11　3の倍数ではない
(5)2244 4!/(2!2!)=6・・・2+2+4+4＝12　3の倍数・・・※2
(6)2334 4!/2!=12・・・2+3+3+4＝12　3の倍数・・・※3
(7)2344 4!/2!=12・・・2+3+4+4＝13　3の倍数ではない
(8)3344 4!/(2!2!)=6・・・3+3+4+4＝14　3の倍数でない

※1～※3が3の倍数になる組み合わせだから、
トータルで4+6+12＝22個

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/2061/child/baisu.html

お礼

すべての桁を合計すればよいのですね。ありがとうございます。

自分で計算して同じ答えがでました！

本当にありがとうございました。

回答No.3

Dracky376B

(1)
問題分の意図としては、重複してできる数は１つとして数えるのだと思います。
（例えば、2,2,2 の3枚で3桁の整数を作る場合、カードの位置関係としては、3Ｐ2＝6通りあるが、実際にできる整数は、222 の1通りのみ。）

とすると、2, 3, 4 のカードをそれぞれ何枚使用するかで、場合分けする必要があります。

2 3 4
---------------------------------------------
3 1 0 → 4Ｃ3 × 1Ｃ1 ＝ 4(通り)☆
3 0 1 → 4Ｃ3 × 1Ｃ1 ＝ 4(通り)
2 2 0 → 4Ｃ2 × 2Ｃ2 ＝ 6(通り)
2 1 1 → 4Ｃ2 × 2Ｃ1 × 1Ｃ1 ＝ 12(通り)
2 0 2 → 4Ｃ2 × 2Ｃ2 ＝ 6(通り)☆
1 2 1 → 4Ｃ1 × 3Ｃ2 × 1Ｃ1 ＝ 12(通り)☆
1 1 2 → 4Ｃ1 × 3Ｃ1 × 2Ｃ2 ＝ 12(通り)
0 2 2 → 4Ｃ0 × 4Ｃ2 × 2Ｃ2 ＝ 6(通り)
---------------------------------------------
よって、計 62 通り

(2)
ある整数が3の倍数になるのは、各桁の数字を合計した値が3の倍数の時。
よって、上記☆をつけたパターンが該当するので、計 22 通り。

回答No.2

suko22

これは樹形図で数えると結構大変ですね。

重複順列の考え方で解いたほうが数え間違いが少なそうです。

まずは4桁の組み合わせを考えます。以下の8通りあります。それぞれ順番も考えて何通りあるかを数えます。わからなければまずは補足を見てください。
(1)2223　4!/3!=4
(2)2224 4!/3!=4
(3)2233 4!/(2!2!)=6
(4)2234 4!/2!=12
(5)2244 4!/(2!2!)=6
(6)2334 4!/2!=12
(7)2344 4!/2!=12
(8)3344 4!/(2!2!)=6

合計62個。

数え漏れがないかと計算は確認してみてください。

これで3の倍数も簡単にもとまります。

補足

回答、ありがとうございます。
確認しましたが数え漏れはないと思います。
ありがとうございます。

3の倍数なのですが、求め方がよくわかりませんでした。

質問ばかりですみません。

回答No.1

suko22

＞（1）は、今回の問題は0を含まないので、7P4でいいのかなと思ったのですが、回答欄が以上に大きく感
＞じ、不安になりました。
＞（2）は、3の倍数なので一の位が3になればいいと思い、一の位を3にしようと思うのですが選択肢に3が二＞つあって悩みました。十の位から千の位は一の位に3を一つあてはめたと考えて残りの6個から3個選べばい＞いと考え、6P3だと思います。

(1)は数えすぎです。
2が3個、3が2個、4が2個ありそれぞれ区別がないので7Ｐ4では数えすぎになります。

これもまずは樹形図で考えるのがよいかと思います。

(2)3の倍数は、各位の数の和が3の倍数になるものは全部3の倍数です。(1)の結果から抽出してみるとよいと思います。