( ゜∀゜)？順列の問題について教えて下さい

質問

参考書の問題を頑張って解いたんですが間違ってました。
回答を見ても理由がよくわからなかったので
自分の解き方のどこが悪いかわかりやすくアドバイスお願いします。

0,1,2,3,4,5の６個の数字から異なる５個を用いて
５桁の５の倍数はいくつできるか？

５の倍数は一の位が０か５なので
一の位は×２

０と５を使った残り１，２，３，４、が
万、千、百、十の４つの位で使うから４の階乗。
２つをかけると２４×2で48個と解きました。

しかし回答は１の位が０の場合と５の場合と２つに分けて
１の位が０の場合5P4で120

１の位が５の場合４×4P3で96　120+96で216
が答えなのですがなぜ場合分けみたいなことになるのかわかりません。
偶数の場合の一の位とか場合分けみたいなことせずに2,4,6が入るから
みたいな計算ですよね？

分かりやすい回答よろしくお願いします。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

・一の位が０か５の２通り
・残り１，２，３，４の順列

この場合の大きな盲点は、万～十の位に、一の位で使わなかった方の数字が含まれている場合を完全に忘れている点ですね。

一の位が０であれば、５は万～十の位のどこかあり、また一の位が５であれば、同様に０がどこかにあるので、万～十の位は５Ｐ４でなければなりません。

ただし、これでもまだ盲点があり、万の位が０場合は”５桁の数字”に当てはまらないので、これを除く必要があります。

この二点が質問者殿がうっかり見逃した点です。

解答例では、
一の位が０の時は、万の位のことを気にしなくて良いので、５Ｐ４＝１２０通り
一の位が５の時は、万の位は１～４の４通り、千～十の位は、残り４つの数字から３つを選ぶ順列、即ち４Ｐ３となり、４Ｘ４Ｐ３＝９６となる、
ということでしょう。

別解で、
一の位が０か５の場合、５Ｐ４×２　＝　１２０　×　２　＝　２４０
万の位が０の場合（この場合一の位は５に固定されるので、千～十に４，３，２，１が並ぶ場合となる）　４Ｐ３　＝　２４

２４０－２４　＝　２１６

これでも同じ答えになります。

ご参考に。

お礼

回答ありがとうございます。

＞この場合の大きな盲点は、万～十の位に、一の位で使わなかった方の数字が含まれている場合を完全に忘れている点ですね。

回答していただいて見直してみたら確かにそうでした。
参考にさせていただきます。
また質問させていただくと思うのでその時はよろしくお願いします(^^♪

回答No.4

yyssaa

一の位が５の場合は、残りの0,1,2,3,4のうちで
万の位(５桁の数の最高位)になり得るのは
1,2,3,4の4個だけ。
一方、一の位が０の場合は、残りの1,2,3,4,5の
5個が万の位になり得る。よって場合分けが必要。

お礼

回答ありがとうございます。
確かに場合わけが必要ですね。
参考にさせていただきます。

回答No.2

ferien

＞しかし回答は１の位が０の場合と５の場合と２つに分けて
＞１の位が０の場合5P4で120
＞１の位が５の場合４×4P3で96　120+96で216
＞が答えなのですがなぜ場合分けみたいなことになるのかわかりません。
一番左の万の位に０を入れてはいけないことと関係があります。
１の位が０のとき、１の位は１通り、残りの桁には１～５のどれを入れてもいいから5Ｐ4通り
（万の位の入れ方は５通り、千の位は４通り、百の位３通り、十の位２通り　より、5Ｐ4通り）
よって、１×5Ｐ4通り
１の位が５のとき、１の位は１通り、万の位は１～４の４通り、残りの桁は、残り４個から4Ｐ3通り、
よって、１×４×4Ｐ3通り　
合わせて　１×5Ｐ4＋１×４×4Ｐ3通り

＞偶数の場合の一の位とか場合分けみたいなことせずに2,4,6が入るからみたいな計算ですよね？
この問題の場合は、場合分けが必要です。
１の位０のとき、１の位は１通り、残りの桁には１～５のどれを入れてもいいから5Ｐ4通り
よって、１×5Ｐ4通り
１の位が０でないとき、１の位は２通り、万の位は０以外の４通り、残りの桁は、残り４個から4Ｐ3通り
よって、２×４×4Ｐ3通り　
合わせて　１×5Ｐ4＋２×４×4Ｐ3通り　

になります。
１の位に０を使ってしまえば、残りはどれを入れてもいいですが、
１の位が０でないときは、万の位に０を入れないように注意する必要があります。

お礼

回答ありがとうございます。
０は他の数字と別で考えないといけなかったんですね。

参考にさせていただきます。

回答No.1

Tacosan

あなたの計算では, 例えば 15320 はいつ数えていますか?

お礼

ありがとうございます。