座標変換

質問

y=√(a^2-x^2)の体積を座標変換を用いて求めよ

π∫-aからa y^2 dxなら解くことができますが、座標変換が難しくてわかりません
教えてください

回答No.8

alice_44

A No.5 の式中、 ｜J｜ の縦線は何の記号か
確認しておいてください。

補足

書き直すと det J のことではないのですか？

回答No.7

alice_44

←A No.5 補足
No.5 の説明で「理解できた」とすれば、
貴方は、重積分の変数変換を誤解しているし、
A No.6 を理解できていません。御精進。

補足

なぜですか？

回答No.6

alice_44

重積分の変数変換をするとき、ヤコビアン(すなわち
変換の偏微係数行列(ヤコビ行列)の行列式)ではなく、
その絶対値を掛けて積分します。絶対値がつくことは、
面積の印象から納得するのは容易だけれども、
証明をしようとすると、意外に面倒です。
多くの教科書に、変数変換の公式が挙げてあって、
その使い方は説明されているけれど、証明はめったに
添えられていない理由は、そこにあります。
貴方の数学との関わり方は、質問には書いてないけれど、
理学または工学を学ぶ／行う上で計算をする必要がある
ということならば、置換積分の公式は、天下りの公式
として覚えてしまうことを勧めます。
計算の道具としては、多用することになるものです。

お礼

詳しくありがとうございました

回答No.5

info22_

#2,#3,#4です。

A#4の補足について

>ヤコビアン|J|は何でもrでいいのでしょうか？
座標変換により|J|は変わります。
詳細はA#4の参考URLや教科書、参考書をご覧ください。
ヤコビアンの計算方法が載っています。

座標変換
x=rcosθ,y=rsinθ
の時は以下のように計算します。
|J|=∂(x,y)/∂(r,θ)
=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)
=cosθrcosθ-sinθr(-sinθ)
=r{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
=r
でも、これはどこにでも載っていることなので
公式のように
　dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と使って構いません。

（誰で知っている、どこにも載っている常識ですから、
逆に知らないということは勉強不足ということを意味しますヨ）。

お礼

理解しました
ありがとうございました

回答No.4

info22_

#2,#3です。

A#3の補足について

>√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθのrはなぜかかってるのでしょうか？

重積分で変数変換をする場合ヤコビアン|J|を掛けてやる必要があります。
重積分における座標変換を使う場合、変換係数としてヤコビアンがかかってきます。
どの教科書や参考書にも載っていますので復習してください。

x=rcosθ,y=rsinθと座標変換すると
dxdy=|J|drdθ , |J|=r
とrがかかります。

詳細は参考URL
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/06/zoku15-060511.pdf
の「非常に重要な例：平面の極座標」のところにも載っていますので参考にしてください。

参考URL：

http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/06/zoku15-060511.pdf

補足

初歩的なことも知らずすみません
ありがとうございました
あとでpdfの方を見させていただきます
ヤコビアン|J|は何でもrでいいのでしょうか？

回答No.3

info22_

#2です。

A#2の補足について

>問題文のどこがおかしいのでしょうか？

>>y=√(a^2-x^2)　...(※)　の体積を座標変換を用いて求めよ
>この問題文は数学的にも日本語的にも意味が通じません。
書いた通りです。

「y=√(a^2-x^2)　の体積」とは何でしょうか？
「y=√(a^2-x^2)」だけでは、2次曲線の一部（円周の半分）しか表さない曲線に過ぎず
体積は定義されません。
なので「y=√(a^2-x^2)　の体積」では、何を言ってるのか理解不能ということです。
また、座標変換が何を指すか、明確でない。ということです。

>あと、
>2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
>　 =8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθとなる理由を教えてください
立体の対称性（xz座標面およびyz座標面に立体が対称）より
積分領域のθの範囲を「0≦θ≦π/2」として積分し、それを4倍すれば元の積分になる。
ということです。
　2×4倍＝8　となります。

補足

分かりました
ありがとうございました

√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθのrはなぜかかってるのでしょうか？

回答No.2

info22_

>y=√(a^2-x^2)　...(※)　の体積を座標変換を用いて求めよ
この問題文は数学的にも日本語的にも意味が通じません。

>π∫-aからa y^2 dxなら解くことができますが、
この積分の式は、a>0でyが(※)で与えられるとき、原点中心半径aの球の体積を
x軸の周りの回転体の体積公式を使って求める式です。

V=π∫[-a,a] y^2 dx=π∫[-a,a](a^2-x^2)dx

回転体の体積公式を使わないで体積を求めるなら
球の式を　x^2+y^2+z^2≦a^2 (a>0)
とすると
半径aの体積Vは
　V=2∫[x^2+y^2≦a^2] √(a^2-x^2-y^2) dxdy
x=rcosθ,y=rsinθと座標変換すると
　√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθ
　V=2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
　 =8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθ
=8∫[0,π/2]dθ∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
=4π∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
　 =4π[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,a]
　 =(4π/3) a^3

補足

問題文のどこがおかしいのでしょうか？
あと、2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
　 =8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθとなる理由を教えてください

回答No.1

Willyt

与式は中心が原点、半径ａの円の上半分です。従って極座標を用いるとこの式は

　ｒ＝ａとなり、面積は　∫ｒ^2/2・dθ=∫a^2/2・dθの積分をθ＝０～πまでの範囲で行ないます。

補足

初歩的なことも分からずすみません、∫ｒ^2/2・dθになるのはなぜですか？