「速さ」の増加率

質問

こんにちは、いつも勉強させて頂いております。

とてもシンプルなお話なのですが、ここ数日ずっと悩んでおります。
些細な内容なのですが、どうか教えて頂けるととても助かります。

添付の図のうち、左上をご覧下さい。問題は非常にシンプルでして、
ある質点が青矢印で示した方向に大きさ10m/sの速度で動いております。
この瞬間、赤矢印で示した方向に加速度5m/s^2がかかりました。
このときの速さの増加率を求めよ、という問題です。

まず、私が思ったのは、速さの増加率、なら加速度の大きさではないか、ということです。
それなら、5m/s^2 ではないかと。

しかしながら、解答は、右上の図の通りで、加速度を、青矢印（速度の方向）に平行な成分と垂直な成分に分け、平行な成分の大きさ、つまり 5 cos30 が答えでした。確かに、等速円運動では加速度が掛かっていはいるけれど、その方向は、速度の方向に垂直であり、それがゆえに速さが変わっていません。

と納得しかけていると、
いやいや、しかし速さは速度の大きさ、その単位時間当たりの変化率なら、
極小時間Δt秒後の速度を添付の下段の図のように緑の矢印で表すと、この緑の矢印の大きさから、もとの速度に相当する青の矢印の長さを引いたものが、速さの変化率、ではないでしょうか。式で表すと、

速さの増加率

= (緑の矢印の大きさ － 青矢印の大きさ) / Δt

= ([{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ]0.5 － 10) / Δt

となりました。

以上なのですが、模範解答とここで示しました私の考えが異なっている点について、どうかアドバイスなど頂けると幸いです。シンプルな問題なのですが、非常に悩んでおります。「速さの増加率」という聞きなれない言葉が災いしているかもしれません。問題の内容が、元の速度の方向の速さの増加率、ならば納得できるのですが、いかがでしょうか。どうか宜しくお願い致します。

回答No.5

heboiboro · ベストアンサー

#3です。
いくつかやり方ありますが、高校数学的にやれば、分母分子に(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] + 10)を掛けて、

(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] - 10)/Δt
= (√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] - 10)(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] + 10)/Δt/(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] + 10)
= ([{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] - 10^2)/Δt/(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] + 10)
= (100cos30Δt + 25(Δt)^2)/Δt/(√[{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ] + 10)
→ 5cos30
となります。
見づらいのは勘弁してください。

√(1+ε) ≒ 1+ε/2 の公式を使えばもっと簡単に計算できますが。

お礼

「見づらいのは勘弁してください。」
とんでもない、むしろワープロで書き辛い式を時間をかけて用意していただき、
大変ありがたく、しっかりプリントアウトして手で書いて確認させて頂きました。
ありがとう御座います。

「あたりまえ」とか「当然」などで済ませず、
数学的にきちんと証明できるのが物理の本当に面白いところだと思います。

もっと勉強して参ります。また、初歩的な悩みを投稿させて頂くこともあるかと思いますが、
どうか今後とも宜しくお願い致します。

回答No.7

htms42

＃６です。
まだ閉じられていませんでしたので補足をします（よけいなことかもしれませんが）。

「速さの変化率は、加速度の、元の速度方向の成分に等しい」というのをいきなり使うというのは飛躍だと思います。この問題はむしろそうなることを導いている問題なのではないでしょうか。
解答はいきなり使っていますがあなたの考えた式はそれを導こうとしているものです。⊿ｔ→０で出てきます。

でもいきなり⊿ｔ→０としないで微小量で残して考えてみます。
近似計算から分かりますがcos３０°が残ってsin３０°が消えたというのは初めの速さの１０という数字があるからです。１０よりも小さい量で考えるということで近似計算をしています。cosは⊿ｔの一次の項、sinは⊿ｔの二次の項になっています。⊿ｔが小さいと一次の項に対して二次の項が落ちてしまうのです。

もし１０がなければどうなるでしょうか。
加速度の５m/s^2という値がそのまま出てきます。
これが
＞私が思ったのは、速さの増加率、なら加速度の大きさではないか、ということです。
に対応するものです。

違いはどこにあるでしょうか。
初速度（≠０）が指定されているということは方向が指定されたということです。
最初の方向が指定されたので加速度をその方向に分解すると速さの変化、方向の変化に対応することになりました。初速度がゼロであれば「元の速度の方向」が存在しませんのでこのような分解は意味を持たなくなります。
運動は加速度の方向にしか起こりません。速さの変化率は加速度に等しくなります。

初速度がゼロで方向が決まるということを実現しようとすると工夫が必要になってきます。条件が付け加わることになります。
重力の場合で考えます。
重力の方向と異なる方向に初速度ゼロでの加速度運動を起こさせる時に使う装置が斜面です。
斜面に沿っての加速度は斜面の方向と重力の方向とのなす角度をθとするとｇcosθです。上で考えた加速度の運動方向成分という表現と一致しています。

お礼

htms42様、さらに勉強になることを教えて頂きありがとう御座います。
些細なことで質問しているのではと危惧していたのですが、こういうことからでも色々なことの復習になり深く考える機会になりました。改めまして感謝申し上げます。

回答No.6

htms42

ルートの中の微小量については
√(１＋α)－１＝α/(√(１+α)＋１)→α／２　（α→０）
で考えるといいでしょう。

＞「速さの増加率」という聞きなれない言葉が災いしているかもしれません。問題の内容が、元の速度の方向の速さの増加率、ならば納得できるのですが

「速さの増加率」ですから文字通り「速さの変化」を求めて微小時間△ｔで割ればいいです。
「元の速度の方向の」という但し書きは必要ありません。

速さを考えた段階でスカラーになります。ベクトルではなくなります。方向はありません。
ただ元の速さは元の速度の方向の成分と一致するので「元の速度の方向の」と考えたものと同じ内容になるというだけだと思います。

お礼

回答下さりありがとう御座います。
数学的にきんと証明できる物理は本当に面白いです（最終的に理解できたときですが・・・）。
色々なことが物理と数学で理解できればと思い頑張ります。
今後ともどうぞ宜しくお願い致します。

回答No.4

Quarks

>確かに、等速円運動では加速度が掛かっていはいるけれど、その方向は、速度の方向に垂直であり、それがゆえに速さが変わっていません。

>元の速度の方向の速さの増加率、ならば納得できる

この考えで了解すべきです。

一般に、与えられた加速度は（物体が円運動しているかどうかに拘わらず）
　現在の速度の方向（進行方向＝並進運動の方向）への成分（αとします）
と、
　現在の速度の方向に対して垂直な方向の成分（βとします）
とに分けて、それぞれの作用を評価することができます。このとき

αは、文字通り速度と平行な成分ですから、"速さを変える"作用を持ちますが、速度の方向を変える作用は持ち合わせていません。

一方、βは進行方向に対して垂直な成分ですから、速度の"方向を変える"作用を持ちますが、速さを変える作用は持っていません。

つまり、加速度を、速度と平行な成分と、速度に垂直な成分とに分ければ、前者は速さを変える増す作用を、後者は進行方向を変える作用を表すものと考えることができるのです。

本問題では、α（の大きさ）を問うていると考えられるので、答は　5・cos30°[m/(s^2)]となるわけです。

お礼

Quarks様、回答下さりありがとう御座います。いつも勉強になります。

「βは進行方向に対して垂直な成分ですから、速度の"方向を変える"作用を持ちますが、速さを変える作用は持っていません。」

他の方の回答を拝見して理解しまして、私の質問の本質は結局、このQuarks様のおっしゃったことを証明することであったかも知れないと思っております。速度と垂直な方向に働く加速度は、速度の大きさを変えることはない、の数学的証明をやったのではないかと思いました。等速回転運動は、加速度が掛かっているにもかかわらず、速さの方向を変えるけれども大きさは変えない、これをしっかりと理解するのには時間が掛かってしまいました。たまに、このように物理の初歩の段階に立ち返るような悩みに出くわし、物理初心者の域を出れずにおります。けれども、もっと勉強して物理をもっと理解して参りたいと思います。毎度、初歩的なところでちんぷんかんぷんな質問をするかも知れませんが、どうぞ今後とも宜しくお願い致します。

回答No.3

heboiboro

あなたの考え方でも、結局模範解答と同じ答えになります。
Δt→0の極限をとってみてください。

([{10 + (5cos30) Δt} ^2 + {(5sin30)Δt}^2 ]^0.5 - 10)/Δt
は、Δtをゼロに近づける極限で、5cos30° になります。

お礼

heboiboro様、回答下さりありがとうございます。回答を拝見しまして、あっと思いました。
確かに、おっしゃる通りになりそうです。なのですが、極限の計算をしようとして数学的につまづいております。質問の内容にかかわりが薄いのですが、計算の過程を教えていただけないでしょうか。私の数学のレベルでは、dtが平方根の中に入っていることで、極限の計算を仕切れず困っております。どうかお願いいたします。

回答No.2

notnot

問題文は、「ある質点が青矢印で示した方向に大きさ10m/sの速度で動いております。
この瞬間、赤矢印で示した方向に加速度5m/s^2がかかりました。
このときの速さの増加率を求めよ」
と一言一句同じですか？問題の読み取り方が違うのでは？

お礼

原文と一言一句同じではありませんが、増加率という言葉はそのままであります。宜しくお願いします。回答下さりありがとう御座います。

回答No.1

Cupper-2

質問者さんの解答は
初速の１秒後に、力を加えられた後の１秒後
の位置を示すベクトルになります。

すなわち、２秒後の位置を示すベクトルですから
１秒単位で考えるこの問題では不正解になります。

力を加えられた瞬間からを考えてみましょう。

よく分からないと言うことでしたら、正反対の方向に同じだけの加速を受けた場合
最終的にどんな動きになるかを考えてみてください。
質問者さんの解答方法では…なぜか初速が残るんです。
正解は静止状態にならなければいけませんよね。

お礼

回答下さりありがとう御座います。お示ししました矢印は位置ではなく速度を表すベクトルですので問題ないと思います。また、同じ大きさで真逆の加速度を与えて初速が残るのも、正しいことではないかと思いますが、いかがでしょうか。また、一秒後ではなく、Δt秒後を想定して考えまして、最終的にはΔtを０の極限に持っていくことで、率、が出せると考えていました。ただ、Cupper-2様の回答を私が誤解しておりましたら申し訳御座いません。宜しくお願いします。