- 締切済み
アークサイン等の求め方
- みんなの回答 (10)
- 専門家の回答
みんなの回答
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
閉店前の閑散時に便乗して、もう少し雑談。 「アークサイン √3/2 」のような特別ケースでなく、ポンとサイン値を与えられたとき、辺長比から角度 (弧度) を知るための主な道筋は二つ。 一つが「三角関数表」を逆引きする「アーカイブ」流、もう一つはなんとか勘定してみる「アルゴリズム」流。「アーカイブ」ですませるのがふつうで、実務の場面では当方も「アーカイブ」派ですけど…。 他方、逆三角関数値の求め方を訊ねる Q&A も散見されます。回答に逆引き策ばかり出されているとき、ここに連ねてみた「アルゴリズム」を対案として書いてみても、質問者のかたがスンナリ納得するのは、やはり「アーカイブ」流のほうですネ。 「アルゴリズム」は目新しいものでなく、円に内接する正多角形の全辺長から円周率の近似値を導いたアルキメデス以来の古典的な方法。「ピタゴラス」方式の四則演算と開平を使う勘定法です。 変形としては、sinc(x) = sin(x)/x の無限乗積、 ∞ Π cos(x/2^k) = sin(x)/x …(*) k=1 もあるようです。 与えられた sin(x) に対するアークサインが x 。 sin(x) から cos(x) を算出したあと、半角算式を連用すれば、(*) の左辺を勘定できます。 ∞ までは行けませんので、有効桁内で cos(x/2^k) が 1 に達したところで打ち切り。 そのときの左辺の sin(x) へ「弦長」を入れれば、x すなわち「弧度」が得られるわけです。 探してみれば、ほかにも有るのでしょうが、はて…?
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
更なる蛇足、です。 >「アークサイン √3/2 を求めなさい」 cos の 4 倍角算式、 cos(4θ) = 8*cos^4(θ) - 8*cos^2(θ) + 1 …(*) を利用すると、「アークサイン」の 4 分角を 2 次方程式解法で得られる。 桁落ちを回避しながら (*) を解いてみた。 [メモ] cos(4θ) = √(1 - sin^2(4θ)) なので、これを c として (*) へ放り込むと、 8*(1-u^2)^2 - 8*(1-u^2) + (1-c) = 0 なる u = sin(θ) の方程式になる。 EXCEL での 4 分角を勘定してみました (アークサイン(√3)/2) 。 前稿の半角による勘定例と比べてみてください。 当然ながら倍速化され、半分の n = 1 ダースで EXCEL の桁数限界に到達してます。 d (**) = (Sn^2)/{1+√(1-Sn^2)} = Sn n sin_θ/4^n d (**) θ -- --------- --------- ------ 0 8.660E-01 5.000E-01 1 2.588E-01 3.407E-02 1.0353 2 6.540E-02 2.141E-03 1.0465 3 1.636E-02 1.339E-04 1.0472 4 4.091E-03 8.367E-06 1.0472 5 1.023E-03 5.229E-07 1.0472 6 2.557E-04 3.268E-08 1.0472 7 6.392E-05 2.043E-09 1.0472 8 1.598E-05 1.277E-10 1.0472 9 3.995E-06 7.979E-12 1.0472 10 9.987E-07 4.987E-13 1.0472 11 2.497E-07 3.117E-14 1.0472 12 6.242E-08 1.948E-15 1.0472
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
蛇足~3 です。。 >「アークサイン √3/2 を求めなさい」 EXCEL にて、半角算式、 sin(θ/2) = x/√[2*{1 + √(1-x^2)}] を繰り返した (x = (√3)/2) の結果一例でも。 n sin_θ/2 θ --- -------- --- 0 8.660E-01 1 5.000E-01 1.0000 2 2.588E-01 1.0353 3 1.305E-01 1.0442 4 6.540E-02 1.0465 5 3.272E-02 1.0470 6 1.636E-02 1.0472 7 8.181E-03 1.0472 8 4.091E-03 1.0472 9 2.045E-03 1.0472 10 1.023E-03 1.0472 11 5.113E-04 1.0472 12 2.557E-04 1.0472 13 1.278E-04 1.0472 14 6.392E-05 1.0472 15 3.196E-05 1.0472 16 1.598E-05 1.0472 17 7.989E-06 1.0472 18 3.995E-06 1.0472 19 1.997E-06 1.0472 20 9.987E-07 1.0472 21 4.993E-07 1.0472 22 2.497E-07 1.0472 23 1.248E-07 1.0472 24 6.242E-08 1.0472 n が半角算式の適用回数。 θ= (2^n)*sin_θ/2 。 n = 2 ダースほどで、 EXCEL の桁数限界に達してます。 ちなみに、1.0472 ≒ π/3 。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
蛇足に次ぐ蛇足で、蒙御免。 > sin(θ) = x からスタート。 sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] を勘定。 いかにも桁落ちしそうなこの式を、そのまま使ったワタシがワルかった。 sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] = x/√[2*{1 + √(1-x^2)}] と変形すれば、スプレッドシートの有効桁をキープできるのでした。 脇道も、ここらが行き止まり…。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
#3 です。 >asin(x) が何度 (何ラジアン) なのか? >ふつうは、「三角関数 (正弦) 表などで x を逆引きする」などせずには判りません。 asin(x) は、辺比 (垂辺/斜辺) = x に相当する角度θ。 このθは単位円において切り取られる円弧長に相当します。 辺比と円弧長が異なるのは当然ですけど、その差を縮める一つの手がθを細分していく方法です。 sin(θ)/θ が θ→0 で 1 に収束することを利用するわけ。 繰り返し計算を敬遠しなければ、asin(x) に近づいていく勘定法を試せるでしょう。 スプレッドシートなどで手軽に試行できそうな一例でも…。 sin(θ) = x からスタート。 sin(θ/2) = √[{1 - √(1-x^2)}/2] を勘定。 これで、θを 2 分したときの正弦値が得られます。 これを繰り返し、その都度得られた正弦値を倍々していけば、sin(θ) = x のθに接近していく。 単純な二分法なので精度はイマイチ? ふつうのスプレッドシートで試すと、1 ダースほどの「二分操作」で有効 8 桁程度。 ほかにも、いろんな手があるかも…。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
アークサイン アークコサイン アークタンジェント は sin, cos, tan に戻して考えれば良いでしょう。 以下の代表的なアークの三角関数の値はすぐ出せるようにしておきましょう。 sin^-1(t)の取りうる範囲(主値という)は -90°≦sin^-1(t)≦90° または -π/2≦sin^-1(t)≦π/2 です。 x=sin^-1(√3/2) ⇒ sin(x)=√3/2 ⇒ x=60°=π/3[rad] x=sin^-1(1/2) ⇒ sin(x)=1/2 ⇒ x=30°=π/6[rad] x=sin^-1(1/√2) ⇒ sin(x)=1/√2 ⇒ x=45°=π/4[rad] cos^-1(t)の取りうる範囲(主値という)は 0°≦cos^-1(t)≦180° または 0[rad]≦cos^-1(t)≦π[rad] です。 x=cos^-1(√3/2) ⇒ cos(x)=√3/2 ⇒ x=30°=π/6[rad] x=cos^-1(1/2) ⇒ cos(x)=1/2 ⇒ x=60°=π/3[rad] x=cos^-1(1/√2) ⇒ cos(x)=1/√2 ⇒ x=45°=π/4[rad] tan^-1(t)の取りうる範囲(主値という)は -90°≦tan^-1(t)≦90° または -π/2[rad]≦tan^-1(t)≦π/2[rad] です。 x=tan^-1(√3) ⇒ tan(x)=√3 ⇒ x=60°=π/3[rad] x=tan^-1(1/√3) ⇒ cos(x)=1/√3 ⇒ x=30°=π/6[rad] x=tan^-1(1) ⇒ tan(x)=1 ⇒ x=45°=π/4[rad]
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(続き) 三角関数には、周期性がありますから、 x = sinθ となる θ の値を偶々ひとつ知っていれば、 arcsin x が取り得る全ての値を知ることができます。 arcsin x = θ+2nπ または -θ+(2n+1)π ただし n は任意の整数 です。 Y = sin X のグラフを見れば判るように、 sin の逆関数を定義するためには、 sin X が一意になるように適当に X の範囲を制限して、 その範囲の sin の逆関数を arcsin とする必要があります。 このとき選んだ範囲に対応して、適切な n を 上記の式に当てはめればよいのです。 arccos, arctan についても同様に、 x = cosθ ⇒ arccos x = ±θ+2nπ x = tanθ ⇒ arctan x = θ+nπ から求めることができます。 そのような θ を知らなかった場合は、逆三角関数のような 超越関数の値を厳密に求める方法はなく、 級数展開などを使って近似値を求めるくらいが最善となります。 arcsin x = Σ[n=0→∞] {(2n)!}/{(4^n) (n!)^2 (2n+1)} x^(2n+1) arccos x = π/2 - arcsin x arctan x = Σ[n=0→∞] {(-1)^n}/(2n+1) x^(2n+1) あたりの式を有限項で打ち切って、近似値を求めます。
- 178-tall
- ベストアンサー率43% (762/1732)
>「アークサイン √3/2 を求めなさい」 ぐらいの問題も分からない… asin(x) が何度 (何ラジアン) なのか? ふつうは、「三角関数 (正弦) 表などで x を逆引きする」などせずには判りません。 アークサイン (√3/2) の角度を「作図して感じをつかもう」というのなら、 斜辺長 = 1, 垂辺長 = √3/2 の三角形を作図してみる手があります。 1 cm, 0.866 cm じゃ小さすぎ! というなら、10 cm, 8.66 cm などと、拡大しても角度は不変。 感じぐらいはつかめます。 底辺は 5 cm 位になり、考えてみれば、正三角形の半片だとわかる。 肝心の角度θ (ラジアン) は asin (x) なのですが、x = (底辺/斜辺) を頼りに、 何らかの方法で勘定しないと知り得ません。 底辺/斜辺 = √3/2 、つまり「正三角形の半片」の例なら、その角度θ は 半円にちょうど三つはまる角度です。 つまり、単位円 (半径が 1 の円) の半円周 = π に三つはまる角度θ。 この関係が判る稀有な一例なので、θ= π/3 radian = 60 degree と勘定できるのです。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.1 の例を見ても解るように、 答えを知っていないと、値は出せません。 任意の x に対する arcsin x を計算する方法は無く、 テイラー展開でもして近似値を求めるのが、せいぜいです。 arccos や arctan についても、同様です。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
arcsin(√3/2) sin(θ)=√3/2 となるような角θを求めることを意味します。 sinのところでさんざん出てきた(と思います)、例の1:2:√3の直角三角形を書きます。 sin、つまりy座標/斜辺=√3/2となるようにこの三角形を書いたとき、θは何度でしょうか。
関連するQ&A
- 微分積分を学ぶにあたっての基礎知識
微分積分をとある事情により独学で学ぶことになってしまいました。 そこで、「石村園子 著 やさしく学べる微分積分」という本を買って学習し始めたのですが 圧倒的に基礎知識が足りないことが分かりました。 (グラフ、三角関数、平方完成等々…) ですので、そこから学び直したいと思ったのですが、微分積分を学ぶにあたって、具体的に必要な基礎知識は一体何でしょうか? また、それに関する良い参考書等がありましたら是非とも教えていただきたいです。 ちなみに… 私は、高校が工業高校でしっかりと数学というものをやっておらず、大学も推薦のため、受験勉強をしていません。 そして大学は数学とは全く無縁の学科に入学したため、私の数学に関する知識はかなり低いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学の微積分の参考書について質問です!
私今年は大学の電気電子学科に入学しました。微分積分について聞きたいです。初級用と中級用の2つほしいと思っています。 現在、初級用に「やさしく学べる微分積分- 石村 園子」中級用に「微分積分- 矢野 健太郎」か「微分積分学-齋藤 正彦」か「解析入門-杉浦 光夫」を買おうかと思っています。これよりおすすめの参考書があったら教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学で習う微分積分の公式の証明
こんにちは。いつもお世話になっております。 大学で習う微分積分の公式がちゃんと導かれている参考書を探しています。 「大学で習う微分積分」とは、例えば逆三角関数(アークタンジェント)などを用いたもの(1/(1+x^2)の積分)などです。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- サインとコサインは微積分からみると群?
よく分からないのですがサインとコサインは微分や積分するとお互いに変わるようですので群と呼ばれるものをつくっているのでしょうか。またこのような関係にある関数はほかにもあるのでしょうか.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ∫cosxdx=sinxの読み方、意味
∫cosxdx=sinxはどう読むのでしょうか? カタカナ読みで、 1)、「インテグラル コサインエックス ディーエックス イコール サインエックス」と呼ぶのか、 2)、「コサインエックスを積分したらサインエックスとなる」と呼ぶのでしょうか? またここではsinxが不定積分に当たるのでしょうか?つまり2番の言い方だと、「コサインエックスを積分したら不定積分サインエックスになる」という言い方は間違っていないですか? ご回答お願いいたします。 ちなみに微分積分でよく見かける「e」の読み方も教えていただけるとありがたいです・・。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- サイン・コサイン・タンジェント
たしか中学生くらいで サイン・コサイン・タンジェントを習いますが 大人になって使う人っていますか? 私は一般事務のOLですが 私生活でも仕事中でも使った事はないです。 使う人はどういう人なんでしょうか? 建築家や大学の教授や学校の数学の先生ですか?
- ベストアンサー
- その他(学問・教育)
- 大学受験でタンジェントについて
大学受験で三角関数の分野のタンジェントについてなんですが、 タンジェントと言えばグラフの傾きに利用したり、 サイン、コサインと連携させて、タンジェントにまとめたり、 線分を見込む角度を求めるときにタンジェントと 加法定理を利用するくらいなのですが、 何か受験数学で、より良いタンジェントの使い道があれば 教えてください。 より良い使い道については図形と方程式の分野でも、 微積分の分野でも何でもかまいませんので よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 石村園子先生が執筆された本について
「大学新入生のための数学入門」、「やさしく学べる基礎数学 微分積分・線形代数」などのシリーズを書いている石村園子先生の本を購入しようと思っています。 そこで、この本の中身を確認したいのですが書店を探しても置いていないので確認できません。 もし上記の本を読んだことがある方がいたら、本の構成・内容などを詳しく教えていただけないでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数