算数‐公倍数の問題

質問

はじめて質問させていただきます。現在、算数をやり直している文系学生です。
以下の問題に解説のっているものの、イマイチ理解できずに苦しんでいます。
どなたか算数が得意な方、答えとその解き方、教えてください。
お願いします。(>_<)

1から100までのすべての整数が1つずつ書いてあるカードが100まいあります。このカードを、Aさん、Bさん、Cさん、Ｄさんの順で、次のように拾っていくものとします。
　　Ａさんは、3の倍数のカードをすべて拾う。
　　Bさんは、4の倍数のカードをすべて拾う。
　　Ｃさんは、5の倍数のカードをすべて拾う。
　　Ｄさんは、7の倍数のカードをすべて拾う。

（１）Ｃさんは何枚のカードを拾いましたか。

(２）Ｄさんが拾い終わったとき、カードは何枚残っていますか。

回答No.6

suko22 · ベストアンサー

＃４です。

私、これ問題読み違えてたようですね。

1枚ずつ順番にとっていくと勝手に解釈していました。
だから面倒なことになっていたんですね。

よく問題読むと「すべて」と書いてありますね。失礼しました。

他の方がもう回答されていますが、私なりにもう一度訂正の意味もこめて解説したいと思います。
Ａさんが３の倍数をすべて拾う
1から100の中に3の倍数が何個あるかを考えます。
100/3＝33・・・余り1　　　　・・・※
ということで33枚となります。

（補足）なぜ3で割るか？
　　　　　※の式を四則演算を使って書くと、
　　　　（割られる数）＝（割る数）×（商）+（余り）
　　　　　100＝3×33++1
　　　　　　　＝99+1
　　　　　これから3の倍数は3,6,9・・・と3から始まって最大値は33番目の99であることがわかりま　　　　　　　す。
　　　　　ひとつの理解の仕方です。よく考えてみてください。

問題に戻ります。
Ｂさんが4の倍数をすべて拾う
4の倍数の個数は100/4＝25個・・・(1)
だから25枚か？
違います。
ＡさんとＢさんのカードにはダブるものがあります。
それは3と4の最小公倍数12の倍数のカードです。
12の倍数はＡさん、Ｂさん両方とれますが、Ａさんが先にすべてとってしまっているので、Ｂさんはその分引いておかなければなりません。

12の倍数の個数は100/12＝8　余り4　より8個
Ｂさんの拾った(1)の計算より出した25個というのには12の倍数がもちろん含まれています。先の述べたように12の倍数はＡさんによって先に拾われています。だから、Ｂさんが実際に拾った枚数は、
25-8＝17枚
になります。

Ｃさんが5の倍数をすべて拾う。
5の倍数の個数は100/5＝20個
ここでも上記と同じように先にＡさんとＢさんに取られているものを引きます。
ＡさんとＣさんがダブっているのは3の倍数かつ5の倍数です。すなわち15の倍数です。
15の倍数の個数は100/15＝6個・・・(2)
ＢさんとＣさんがダブっているのは4の倍数かつ5の倍数、すなわち20の倍数です。
20の倍数の個数は100/20＝5個・・・(3)
（ここ大事！）ここで、15の倍数と20の倍数の最小公倍数である3*4*5＝60の倍数は(2)と(3)で2回数えていることになります。100/60＝1、・・・より1枚。
よって、Ｃさんが拾った枚数は20-6-5+1＝10枚・・・答え

(2)同じようにＤさんの拾った枚数を調べます。
Ｄさんは7の倍数だから、100/7＝14　余り2　で14個7の倍数があることがわかります。
しかしＡさんとＤさんの最小公倍数21（100/21＝4　余り16　から4枚）
ＢさんとＤさんの最小公倍数28（100/28＝3　余り16　から3枚）
ＣさんとＤさんの最小公倍数35（100/35＝2　余り30　から2枚）
を引いておく必要があります。
ここで、21と28の最小公倍数3*4*7＝96（100/96＝1　余り4　から1枚）は引きすぎになり、
また21と35の最小公倍数3*5*7＝105も数えすぎ？になるわけですが、数字が100しかないのでこれは考える必要はありません。
また28と35の最小公倍数4*5*7＝140も上記と同じ理由で考えなくてもよい。
よってＤが拾った枚数は、14-4-3-2+1＝6枚

以上からＡさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさんが拾ったカードの枚数の合計は、
33+17+10+6＝66枚

よって残っているカードは100-66＝34枚・・・答え

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
理解が深まりました。またよろしくお願いしますm(__)m

回答No.5

wild_kit

１００／３　＝　３３　余り１　Ａは３３枚拾う。

１００／４　＝　２５　ここには既に拾われている３の倍数も含まれている。
３・４どちらの倍数でもある（＝公倍数）１２の倍数は、１００／１２　＝　８　余り４だから、８枚
２５－８　＝　１７　Ｂは１７枚拾う。

１００／５　＝　２０　ここには既に拾われている３または４の倍数も含まれている。
３または４の倍数で、５の倍数であるものを除く必要がある。
３・５の公倍数である１５の倍数は、１００／１５　＝　６　余り１０　６枚
４・５の公倍数である２０の倍数は、１００／２０　＝　５　５枚
これだけだと、３・４・５の公倍数である６０の倍数が二重にカウントされてしまう。
１００／６０　＝　１　余り４０　　二重にカウントされているのは１枚。
２０－６－５＋１　＝　１０
（１）Ｃが拾ったのは１０枚。

１００／７　＝　１４　余り２　ここから既に拾われているカードを除く。
３・７の公倍数２１の倍数は、１００／２１　＝　４　余り１６
４・７の公倍数２８の倍数は、１００／２８　＝　３　余り１６
５・７の公倍数３５の倍数は、１００／３５　＝　２　余り３０
　除くカードを二重に数えた分を考える。
３・４・７の公倍数８４の倍数は、１００／８４　＝　１　余り１６
３・５・７の公倍数１０５の倍数は含まれていない。
４・５・７の公倍数１４０の倍数は含まれていない。
　また、３・４・５・７の公倍数４２０の倍数は含まれていないので、三重に数えられていない。
以上から、１４－４－３－２＋１　＝　６　Ｄが拾ったのは６枚。

１００－３３－１７－１０－６　＝　５１
（２）残っているのは５１枚

　解説に分からない点があるなら、それを載せてくれないとどんなものなのか分からないので、答えづらいです。

お礼

ごもっともな意見です。今度から気をつけます。
解説していただき、ありがとうございました。

回答No.4

suko22

3,4,5,7,・・・・4枚
6,8,10,14,・・・・4枚
9,12,15,21・・・・4枚
18,16,20,28・・・・4枚
24,32,25,35・・・・4枚
27,36,30,42・・・・4枚
33,40,45,49・・・・4枚
39,44,50,56
48,52,55,63
60,64,65,70
66,68,75,77
69,72,80,84
78,88,85,91
81,92,90,98・・・・4枚
87,96,95,
93,100
99

(1)15枚・・・答え

(2)Ｄさんが最後に取ったのは4×14＝56枚目
よって残りは100-56＝44枚・・・答え

全部書き出してみました。
数え間違えさえしなければこれが一番いいやり方かなと個人的には思います。

表題に公倍数と書かれているのでそれを使うともっと上手く解けるのかもしれませんがすぐには上手く数える方法が思いつきません。

とりあえずこんな感じでいいとおもうのですが。
解答がどんなのかが気になりますね。

お礼

解答は（１）10枚
　　　　 (2)34枚　になってます。

そうなんですよね。わたしも何か公倍数をつかったカラクリというか、法則思いつけず・・・考えてくださりありがとうございました。

回答No.3

f272

> 以下の問題に解説のっているものの、イマイチ理解できずに苦しんでいます。

そうであるなら、その解説でどこが理解できないかを書くべきでしょう。
そうでなければ、その解説と同じような回答いなって結局あなたは理解できませんということになる。

一番簡単な方法は1から100までの数字を書いて、AからDに順に拾った数字に印をつけていくことでしょう。
算数がわからないという人が、それくらいの作業をさぼって、理解しようなどと思うのは無理がある。

回答No.2

qxqxxx

算数苦手な中３で、２取った経験あり。
の頼りなーい回答ですが・・・。

Ａさんの、３の倍数で
３、６、９、、、、、１５とかを１００まで。

Ｂさんの、４の倍数で
４、８、１２、、、、、とかを１００まで。

Ｃさんの、５の倍数で
５、１０、１５、、、、とかを１００まで。

…

ってしていくと、

Ｃさんの１５のカードは既にＡさんが持っているので、拾えないということでカウントしない。
ってしていくと(1)が解けると思います！

ポイント★まず、Ａさん～Ｄさんそれぞれの倍数を神にかく。
次に、先に拾われたカードは斜線をひく。ってことかもしれません。

あ、(2)は面倒くさいのであなた自身、頑張ってください♪
あ、ポイント的には、
斜線ひいたカード以外の、Ａ～Ｄさんのカードの枚数、全て足してみて、
それから１００枚あるから、そのさっき足した奴を引くって感じかもしれません＞＜。

違ったり、もっと簡単で早い方法あったらすみません！

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

asuncion

Aさんは、3,6,9,12,......,96,99のカードを拾う。

Bさんは、残ったカードから4の倍数のカードを拾う。
このとき、3と4の公倍数である12の倍数のカード（12,24,36,......）を
拾うことはできない。なぜなら、12の倍数のカードは、3の倍数のカードでもあり、
それらはすでにAさんが拾っているから。

こんな風に考えていくと、解けるのではないか、と思います。

お礼

回答ありがとうございました！