階数の定義について

質問

階数の定義について教えて下さい。

階数って行列Aを階段行列A'に変形したとき、A'の行のうち
零ベクトルでないものの個数を階数といいますよね。

ここまでは理解していますが、次の問題が解けませんでした。

～行列Aの定義について～
Aの０でない小行列式の（(1)）
Aの（(2)）な列ベクトルの最大個数
Aの（(3)）な行ベクトルの最大個数
Aで定まる線形変換の値域の（(4)）

答えが上から　最大次数　一次独立　一次独立　次元　です。

(2)、(3)は理解しましたが(1)、(4)が理解できません。
お願いします

回答No.4

alice_44

A No.1 の話に循環は無いよ～

(2)と(3)の同値性を示すには、間に(1)を挟んで
(2)⇔(1)⇔(3) を証明するのが素直かな。
一次独立の定義に側して、簡単に示せる。
＞ n個の成分のm個だけに落としても尚
＞ 一次独立になるような、落し方
は、即ち A の行・列から小行列式の行・列を選ぶ
選びかたに他ならないから。
むしろ、(2)⇔(3) を示すことそのものが、
dim(Im f)=dim(Im tf) の証明になる。

回答No.3

eclipse2maven

No.2　の訂正

これはAの一次独立な行ベクトルの最大個数（そういうベクトルは、Im f の基底になる。

＝＝＞

これはAの一次独立な列ベクトルの最大個数（そういうベクトルは、Im f の基底になる。
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回答No.2

eclipse2maven

うーーん、この定義がみんな同値であることは、線形代数の教科書を見た方がよい。いい加減にやると循環論法にはまる。

ここでは、意味を言うね。
階数、rank っていうのは　一番よい定義は、　行列Aを線型写像と思ったときの　イメージの次元　あえて写像をfと書いたら、dim(Im f) です。

こうすると、行列Aは　表現行列になる　基本変形は　基底を取り替えたときの表現行列だから写像fの見え方が変わっただけ。　で、階段行列で書けば、おのずと　dim(Im f)が分かるわけだよね。

これはAの一次独立な行ベクトルの最大個数（そういうベクトルは、Im f の基底になる。

問題は行ベクトルの方です。これは何を意味するか。　これが　行列Aの転置行列　で　同じことを言っている。

つまり　rank tA = rank A もうすこし、　高度な話をいうと　tAは、fの双対写像　tf の表現行列だから　dim(Im f)=dim(Im tf) 転置をとるということは、鏡に移った世界で考えてると思ったらよい。

ここで、一つ思い出して欲しい、　鏡に移った世界でも変わらないものは、すでに一つ（ほんとは二つ　習っている）　そう　det と　trace　です。(det A = det tA)　だから　鏡に移った世界でも　rank が変わらないことは、階段行列でも言えるだろうし、小行列式でもいえる。　だけど　(1) と (2)の同値性はそう自明ではない。　m個の縦ベクトルが一次独立の時、当然　m≦n であるが　n個の成分のm個だけに落としても尚、一次独立になるような、落し方が存在することを示さないといけない。とにかく、このおかげで小行列式の言葉でrank が言い換えられる。これは、定義の中で、分かりにくいけど、縦、横の同値性をなにもいじくることなしに教えてくれる、かつ一番情報を多く含んだ言い回しでないかと思う。

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尚、dim(Im f)=dim(Im tf)は　少し、高級になるが、直接証明できる。　（双対空間の知識がかなり必要）
f:V-->W とすると
次元定理より　dim(Im f)=dim V - dim(Ker f)
一方　Ker f の双対空間は　Coker tf に同型　（これは　V^*＝Im(tf)■Coker tf　　をみたす部分空間　（■は直和））　　従って　dim(Ker f) = dim(Coker tf)　　　
従って　dim(Im tf) = dim V^* - dim(Coker tf) = dim V - dim(Ker f) = dim(Im f)

回答No.1

alice_44

(2)か(3)を定義にしてしまったほうが、話は単純なんですが…
定義を説明する作業の楽さから、質問のように定義してしまう講座が
少なくありません。ソレをやらかすと、定義から(2)(3)へ行く所の
説明が面倒だと思うのですけどね。
ともあれ、質問氏は(2)(3)が解かったとのことなので、安心です。
そこから(1)(4)へは、そう難しくありません。

(2)⇔(1)
n 次元の(値が0でない小行列式)があったとすると、その小行列式に
含まれる行を取り出してみたとき、列ベクトルは一次独立。
よって、n の最大値を考えれば、コレが解かる。

(2)⇔(4)
どちらも、A の列ベクトルが張る部分線形空間の次元に一致する。