E=mc^2に関して

質問

大学受験のため物理を勉強していたときに

E=hν
と
λ=h/p

が教科書に出てきました。

じーっと見ていると、両式からE=mc^2が導出できるみたい。

・p=mv=mc
・ν=v/λ=c/λ
から

E=hν=hc/λ=hc・(p/h)=cp=c・mc=mc^2

でも、そんなに簡単なはずはない、と思いつつ20年経過。
インターネット全盛の昨今、調べてみるとE=mc^2の導出は大変みたいですね。

では、私の上の導出方法ってどこが間違ってるのでしょうか？
目からウロコみたいなご指摘いただけませんか。

回答No.3

shintaro-2 · ベストアンサー

>λ=h/p

ドブロイ波長で考えている速度は、光速よりもはるかに低速だからです。

何故なら
ドブロイ波は物質波とも呼ばれているように、光を扱うものではないからです。

つまり

>・p=mv=mc

ではなく

p=mv<<mcです。

特殊相対性理論では

E^2=m^2c^4+p^2c^2

　だそうです

回答No.11

s_hyama

あまりにも確立されてない現代物理学の現状に目からウロコだったのでは？

厳密には時空である光速度の光cには質量がないが
その振動でありエネルギーEである光波光子には質量mはあるといったほうがいいね。
まあE＝mc^2は、消費電力P=RI^2の抵抗と電流の関係と同じね
ひゃまが、
電流である光と抵抗である光子光波を分けないとおかしいよって
前から言ってるんですがね

回答No.10

s_hyama

丁度、運動量とか質量の話が出ているので、説明すると

静止質量meというのは、地表の重力下（2GMe/re）で静止エネルギーEeからの換算量で、光の時空cに対する抵抗です。
me＝Ee／光速度c^2＝Ee／(波動速度we^2＋2GMe/re)
これは、抵抗R＝消費電力P／電流I^2と同じです。

重さっていうのは、その地表静止基準の質量meを他の条件も含めた加減速する場合に必要な力です。
地表位置エネルギーGMeme/re＝me(c^2－we^2)／2
≒地表静止からの運動エネルギーmev^2／2
たとえば、月表なら重力が地表の1/6の力になります。

また、地球の重心相対で移動(v)している物体の質量は、
m'＝me(we/w’)＝me√(c^2ー2GMe/re)/√(c^2－2GMe/(re+h)－v^2)
となり、高度h=0ならm'＞meになります。
これにc^2を掛け、E＝mec^2(we/w')＝m'c^2にしても同じですね。

つまりエネルギー←→質量になるとかじゃなく、光速度不変にみると単に単位の違いですね。
その時空の光速度と光波光子を混同しているだけでしょう。

質量という概念の内容や定義は、動力学、力学の歴史とともに推移してきている
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B3%AA%E9%87%8F

回答No.9

ereserve67

p=mvは質量をもつ粒子のニュートン力学の式で，ν=c/λは質量0の電磁波の量子（それは特殊相対論的）の関係式だから，整合しません．二重の間違いがE=mc^2を導いたのです．

質量0の電磁波の量子についてもp=h/λ，E=hνがなりたつから，E=hν=hc/λ=cp

一方質量ｍの粒子については，p=m(v)v=Ev/c^2，E=m(v)c^2（m(v)=m/√(1-v^2/c^2)）と定義される．これから，E/p=v/c^2となります．もし仮にm->0とすれば，E=cpが導かれます．

E=cpは実は電磁気学からも導かれるのです．そこでは電磁波を粒子ではなく，波動として扱います．面白いのは，粒子的にみても同じ関係がしかも特殊相対論と量子論から導かれることです．

E=m(v)c^2（m(v)=m/√(1-v^2/c^2)）と定義される，というのは理論計算をきちんとやれば自然に定義されます．導くというより，整合させることに注目しましょう．

回答No.8

heboiboro

物質（波）について成り立つ式と、光について成り立つ式を混同しています。

> p=mv=mc
p=mv は（比較的速度の遅い）物質について成り立つ式です。
一方で、v=c は光についてしか成り立ちません。

> ν=v/λ=c/λ
この二つ目の等号も同様に、光についてしか成り立ちません。

結局、物質にしか成り立たないはずのp=mvを光にも適用してしまったのが原因です。
（あるいは、光にしか成り立たないv=cを物質にも適用してしまったと言ってもいい）
ちなみに、光の質量mはゼロです。

回答No.7

s_hyama

前に纏めて置いた、ドブロイ関係式からの変換と
位相速度と群速度の違いでよい回答のリンク張っておきます。

光の速度c^2＝粒子速度v^2＋波動速度w^2、
ド・ブロイ波(wave)は波動速度wとして、
p＝mw＝h/λ、w＝νλ、E＝pw＝mw^2＝hν
2GM/r=脱出速度v^2だから、全エネルギーE=mc^2=m(2GM/r+w^2)
位置エネルギーGMm/r=m(c^2-w^2)/2=運動エネルギーmv^2/2

光波と物質波の

矛盾その1(運動エネルギー) 相対論的 mv^2/2≠hν、
物質空間解 mw^2＝hν(波動エネルギー)

矛盾その2(全エネルギー) 相対論的 mc^2≠hν、
物質空間解 mc^2=m(v^2+w^2)=mv^2+hν

物質の屈折率と密度の関係
http://okwave.jp/qa/q140630.html

大切なのは、対照的なのは空間と物質の次元で空間と時間は次元特性が違うということです。

回答No.6

noname#175206

>・p=mv=mc

　これが成り立ちません。一番単純な空間1次元方向の運動で示すと、運動量はp＝mv/√(1－(v/c)^2)となります。するとv＝cでは分母が0となってm＞0ならpが無限大となり、通常の物質（タージオン）が光速度に到達できない理由の一つとされています。

　ニュートン力学では、p＝mv＝mcとできますが、それに特殊相対論を適用した特殊相対論的力学では、v＝cの場合は、m＝0です（正確にはm＝0ならv＝cが出てくる）。光（ルクソン）の運動量は別の方法で示されます。

　つまり、「p=mc」という式はニュートン力学による式でしかなく、相対論的には「0/0」という「不定」になるので、お示しの導出が成り立たないということです。

回答No.5

s_hyama

エネルギーであれば質量はあります。
光子の波動エネルギーE＝hν＝mw^2、
プランク定数h、質量m、波動速度w＝振動数ν・波長λ
これに重力ポテンシャル2GM/rを加えると
全エネルギーE＝m(w^2＋2GM/r)＝mc^2、光速度：c
絶対屈折率は、c/w＝c/√(c^2－2GM/r)
c^2＝2GM/rでw＝0の光波も抜け出せないBHになります。

じゃあ伝播している光波と他の物質と何が違うのかといえば、重心の有無です。
私たちが移動と言って来た物はこの重心の移動vを意味します。
地表で静止している重心を持った物質の全エネルギーは、
E＝mc^2＝m(w^2＋2GM/r)と先ほどの光子とおなじですが、
位置エネルギーmGM/r＝m(c^2－w^2)/2＝運動エネルギーmv^2/2
つまり0→vの運動エネルギーに相当します。
この2GM/rとv^2を足したのが、粒子速度p^2＝2GMr＋v^2
総合すると、光速度c^2＝粒子速度p^2＋波動速度w^2
この内、波動はwだけにあり、w=νλはあるけど、c=νλ、v=νλはありません。
この問題の解決なく今の物理は物理学は進んでいます。

参考：◆物質波の振動数と速さ
v＝νBλB(またはc＝νBλB)という関係を期待してしまうことが問題なのである。
http://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2_kaitei/contents/ph-2/3-bu/3-2-4.htm#Anchor-34711

回答No.4

ikuzecia

プランクが光子のエネルギー、運動量を
E = hν, p = h / λ

ド・ブロイはこれが電子にも当てはまると言っています。
E = hν, p = h / λ

ド・ブロイは上記の式が光子に当てはまらないとは
述べていないと思いますが、間違いですかね？

回答No.2

ikuzecia

すごいね。あなたアインシュタイン？
どこが間違ってるのでしょう？
私も知りたい。
誰か答えてくれないかな。

３０年前大学受験の勉強をしている時、高校の物理で
E=hν
ν＝Ｃ/λ
より
Ｅ＝ｈＣ/λ
宇宙は全くの真空でないので
遠く離れるほど光も徐々にエネルギーを失う。
ｈＣは一定なのでＥはλに反比例する。
つまり地球より遠く離れた星からの光は波長が長くなる、
つまり赤方偏移がおこりビックバンは無かった。
どこが間違ってるのでしょうね。

回答No.1

Tacosan

とりあえず, なんで
・p=mv=mc
・ν=v/λ=c/λ
なんだろう.