ド・ブロイ波のエネルギーは？

質問

高校程度の物理を理解している者です。

ド・ブロイ波の位相速度Vp、群速度Vgについてホームページをいくつかあたってみました。
Vp=1/2Vgとしている立場とVp=c^2/Vgとしている立場がありました。
わたしが見るに、ド・ブロイ波のエネルギーEとして、前者はE=hν=1/2mv^2、後者はE=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2を採用しているような気がします。
これは古典論と相対論で立場が違うから異なる結果になったのだ、というより、hνとしてまったく違うものを採用した結果なのではないか、と思うのです。かたや運動エネルギー、かたや運動エネルギーと質量エネルギーの和。

わたしのとらえ方が間違っているのか、正しい立場はどうなのか。

ド・ブロイ波のエネルギーEとして、E=hν=1/2mv^2が正しいのか、E=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2が正しいのか。

よろしくお願いします。

回答No.14

hitokotonusi · ベストアンサー

前に自分がつまったところと関係してそうですね。

mc^2に相当する振動数をν0とすると、相対論的エネルギーは

E = hν0 + hν

が正しいらしいです。これだと、非相対論的な式

E = hν

とはmc^2 = hν0だけ値が異なってしまい、
振動数もν0とν0+νで異なる事になってしまいますが、
振動数は差でしか求められない物なので、
hν0の差がでても観測にかからないので問題ないそうです。

という事なので、速度が遅い近似で相対論的なエネルギーは

E = hν0 + hν = mc^2 + (1/2)mv^2

非相対論的なエネルギーの式は

E = hν = (1/2)mv^2

で、どちらにしてもド・ブロイ波のhνというエネルギーは全エネルギーから静止エネルギーを引いた分に相当するようです。

群速度と位相速度についてですが、量子力学の自由粒子の解はh=プランク定数/2πとして

e^[i (kx - wt) ] = e^[ i { (p/h)x - (E/h)t }]

なので位相速度は

vp = E/p

群速度vg は粒子の速度。

相対論的には

p = m vg / √[1-(vg/c)^2 ]
E = √[ (mc^2)^2 + (pc)^2]

なので、

vp = E/p = √[ (mc^2/p)^2 + c^2 ]

(mc^2/p)^2
= m^2c^4 ([1-(vg/c)^2 ]/ (m vg)^2 )
= (c^2/vg)^2 - c^2

となるので

vp = c^2/vg

p<<mcという近似をすれば

E = mc^2 √[1 + (p/mc)^2 ] ～ mc^2 [ 1 + (1/2)(p/mc)^2 ] = mc^2 + p^2/2m

となるので、

vp = E/p = mc^2/p + p/2m

ここから静止エネルギーからの寄与分の第一項を落したものが非相対論的な

vp(非相対論) = p/2m = (m vg)/2m = vg/2

こんな感じで、エネルギーがらみのものはすべて静止エネルギー分、相対論と非相対論で絶対値が変ってしまうのですが、それで問題はないらしいです。

どちらが本当に正しいかと言われれば、非相対論は相対論の近似でしかないので相対論の式のほうが正しいのでしょう。ですが、非相対論の世界では静止質量を無視しても世界はちゃんと回っているので、静止質量を無視して考えても特に困難は生じないということなんでしょうね。(これはmc^2が小さいから無視するという意味ではない。大きさで言ったらmc^2は莫大なエネルギーです。)

本質的なところは正直よくわかってないので、あいまいな言い方に終止しますが。

お礼

貴方の、相対論と非相対論で静止エネルギーの分絶対値が変わってしまう、という説明ですっきり理解できました。この説明が一番ツボだったので、ベストアンサーにさせていただきます。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.18

s_hyama

まあ、宇宙のすべての物に時計を置くといっても、不確定性原理があるので無理なんですね

まず、時間を定義は、f＝1/Tを基準に観測するしかないよ

しかしこの場合は一般相対性理論を必要とせず、重力ポテンシャルと時間の遅れの関係式も不必要となるため、ボーアが考えた測定時間とエネルギーの測定誤差の不確定性関係は成立しないことが示される。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E7%A2%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%8E%9F%E7%90%86

つまり決定論で時間を定義するのは無理ってこと

つまり地表では光量子はｃ＝w＝fλだけど、太陽からみた地球量子の波動速度（物質波）は、c^2＝v^2＋w^2

複合的に量子は考えないなかっただけです＾＾

お礼

何度も回答くださってありがとうございます。
たぶん、貴方の説明が一番本質的なことを言っていて、他の方の説明はあくまで模式的に考えたらということだと思います。
ただ貴方の説明はわたくしには難解でした。いつか理解できるように努力したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.17

NemurinekoNya

物質波に位相速度vpが存在すると仮定するから、
奇妙なことになるんですよ。

こんなものは存在しないとすればいい（笑い）。

ニュートン力学が特殊相対性理論の近似だということは知っているでしょう。
速度vが光速cに対して十分に小さければ、ニュートン力学と特殊相対性理論は一致します。
なのですが、ニュートン力学でvpを計算すると、
　vp = vg/2
になります。
対して、相対性理論にしたがってvpを計算すると、
　vp = c^2/vg > c
ですから、物質波の位相速度は光の速度cを超えてしまう（ニコニコ）。
自由粒子の場合、物質波の群速度vgは粒子の速度v（<c）と同じなので、
粒子の速度vが遅くなればなるほど、vpは光速よりもどんどん速くなる（ニコニコ）。
───位相速度は、光速cを超えてもいいんだ！！　特殊相対性理論と矛盾しないのだ、という話は、置いておきました（ポリポリ）───

物質波、ド・ブロイ波に位相速度vpが存在すると仮定するから、奇妙なことになるんですよ。
だったら、捨てればいいんです。
そうすれば、すべてが丸くおさまる（ニコニコ）。

大体、物質波の位相速度vpは測定できないし、
物質はそのものが、古典力学から量子力学にいたる過渡的な考え方なので、
真面目に詮索してもほとんど意味がない。

相対性理論から出てくるのは、
　dE/dp = v
なので、群速度vgで考えるのが筋なんですよ。
　p = h/λ
なので、
　dE/dp = d(hν)/d(h/λ) = dω/dk = vg
　（ω = 2πν, k = 2π/λ）
となります。

お礼

だったら、捨てればいいんです、ですか！
ちょっと目が覚めました。
異なる分野で厳密さを求めて詮索してもそんなには意味がないんですね。
回答ありがとうございました。

回答No.16

s_hyama

んー、どうやっても質量の概念を変えない限り

またE_0 = mc^2の導出過程そのものがE = √{ m^2c^4+p2c^2}によって静止エネルギーになる訳で、エネルギーと速度の関係（式1）が得られるとも限らず以上の説明と矛盾してしまう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%99%E6%AD%A2%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC

話の筋道としては、電磁波のエネルギーＥと運動量Ｐの間に、
Ｅ = ｃ｜Ｐ｜
の関係があることが、マクスウェルの方程式（電気と磁気の法則）から導けます。 これを使って、光ではない、一般の物体が、光を吸収または放出したときに、 E = mc2 の関係があることを導くことができます。
http://b.high.hokudai.ac.jp/~konno/soutairon/r15/

重心になったエネルギーだけ質量と呼ぶみたいな矛盾がでるだけですね。

回答No.15

hitokotonusi

エネルギーというのはその定義からして相対値(変化量)だけが意味があるもので、基準となるエネルギーの選び方次第で絶対値はいかようになるものだということを考えれば、相対論と非相対論では基準となるエネルギーがmc^2だけ異なっているだけだということで何も問題はないのでしょうけど、どこか割り切れなさが残るのはたしかです。

回答No.13

i_am_a_god

再補足

質量という概念は粒子の考え方であって、波の概念には現れません。
ボーアの量子化条件にも波と粒子の等価性が現れています。

粒子性：質量
波動性：波長、波数、周波数

これらは古典論では本来相容れないものです。
しかし、この前提をしっかり把握していない状態で大学の専門的内容を学ぼうとするとドツボにはまります。

あなたが示したURLにはこの前提がものすごく多数含まれていて、数式をこねくり回した結果しか示されていない、「素晴らしく不親切」な説明なのです。

回答No.12

i_am_a_god

ちなみに、杓子定規的に数式の整合性のみを追求したり、思想的傾向の色濃い人の回答は物理ではない。

全てを厳密にやろうとすると数学的に解けない。
数式的に整合性を取ろうと詭弁でけむにまくのは本質を理解していない人の言っていることであるので、本気にしないでもらいたい。

物理は自然を記述しようとする学問でであるので、本来は実験結果をよく説明できていようが「すべてが近似」なのです。
近似なのにも関わらずイコールで結ばれているということを前面に示すのはおかしい。
ウィキペディアなんかではそれを学ぶことはできない。
それを記述する人ですら理解していないことがものすごく多い。

相対性理論というのは、E=mc^2/√(1-(v/c)^2)と書くとうまく「説明できる」というだけであって、もっと根本的な理論の近似である可能性だってある。
物理はそういうものです。

時と場合によって近似を使いまくってるのです。

回答No.11

i_am_a_god

補足です。

なぜ近似式になるかは、仮定や定義の違いです。
E=mV^2/2とするかE≒mV^2/2とするかは定義・仮定によって変わるということは相対論と古典論を学んでいればわかるはず。

回答No.10

i_am_a_god

No.9です。訂正です。

Vp=E/VgではなくVp=E/mVgの間違いでした。

補足のpdfは速度vがVpなのかVgなのかはっきり書いていないようでしたので、よく吟味してください。

回答No.9

i_am_a_god

E≒mc^2+mv^2/2の時にpはどうなるでしょうか？

vは充分cより小さい時の近似です。
pはその時どうなるか？

ドブロイ波の速度Vpは波としてのもの。E=p^2/2m=mVg^2/2は粒子としての運動エネルギーで、速度Vgは粒子としての速度。
E=mc^2の項は静止エネルギーです。

参考リンクのものはVp=E/Vgです。
元の式は粒子的な速度をもとにしているので、
E≒mc^2+1/2mVg^2

Vp=E/Vg≒{mc^2+mVg^2/2}/mVg=c^2/Vg+Vg/2

右辺の項の大小関係により、
Vp≒Vg/2
になるか
Vp≒c^2/Vg
になるかの違いです。

お礼

貴方の説明でかなり、わたくしが問題としていることがはっきりしました。
ただ、貴方の「大小関係により」という説明よりhitokotonusiさんの相対論と非相対論で静止エネルギー分ずれるという説明のほうがしっくりいったので、ベストアンサーはそちらにします。ちょっとの差でした。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.8

s_hyama

あ、ほんとだ、Vp=1/2Vgなんてこじつけでしょｗ

以下の解説が良いでしょう。

さて，物質波について，E＝hνの関係が成り立つとするのは誤りではない。
v＝νBλB(またはc＝νBλB)という関係を期待してしまうことが問題なのである。
http://www.keirinkan.com/kori/kori_physics/kori_physics_2_kaitei/contents/ph-2/3-bu/3-2-4.htm

あと、アインシュタインがいうように

VII. 相対性原理と光の伝播の法則が明白に両立しないこと
http://home.catv.ne.jp/dd/pub/tra/relativity.html

ガリレオの相対性原理自体に根拠はないってことをするべきです。
それにあわせてローレンツ変換しても根拠はありません。