ド・ブロイ波のエネルギーは？

質問

高校程度の物理を理解している者です。

ド・ブロイ波の位相速度Vp、群速度Vgについてホームページをいくつかあたってみました。
Vp=1/2Vgとしている立場とVp=c^2/Vgとしている立場がありました。
わたしが見るに、ド・ブロイ波のエネルギーEとして、前者はE=hν=1/2mv^2、後者はE=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2を採用しているような気がします。
これは古典論と相対論で立場が違うから異なる結果になったのだ、というより、hνとしてまったく違うものを採用した結果なのではないか、と思うのです。かたや運動エネルギー、かたや運動エネルギーと質量エネルギーの和。

わたしのとらえ方が間違っているのか、正しい立場はどうなのか。

ド・ブロイ波のエネルギーEとして、E=hν=1/2mv^2が正しいのか、E=hν=相対論的エネルギー≒mc^2+1/2mv^2が正しいのか。

よろしくお願いします。

回答No.14

hitokotonusi · ベストアンサー

前に自分がつまったところと関係してそうですね。

mc^2に相当する振動数をν0とすると、相対論的エネルギーは

E = hν0 + hν

が正しいらしいです。これだと、非相対論的な式

E = hν

とはmc^2 = hν0だけ値が異なってしまい、
振動数もν0とν0+νで異なる事になってしまいますが、
振動数は差でしか求められない物なので、
hν0の差がでても観測にかからないので問題ないそうです。

という事なので、速度が遅い近似で相対論的なエネルギーは

E = hν0 + hν = mc^2 + (1/2)mv^2

非相対論的なエネルギーの式は

E = hν = (1/2)mv^2

で、どちらにしてもド・ブロイ波のhνというエネルギーは全エネルギーから静止エネルギーを引いた分に相当するようです。

群速度と位相速度についてですが、量子力学の自由粒子の解はh=プランク定数/2πとして

e^[i (kx - wt) ] = e^[ i { (p/h)x - (E/h)t }]

なので位相速度は

vp = E/p

群速度vg は粒子の速度。

相対論的には

p = m vg / √[1-(vg/c)^2 ]
E = √[ (mc^2)^2 + (pc)^2]

なので、

vp = E/p = √[ (mc^2/p)^2 + c^2 ]

(mc^2/p)^2
= m^2c^4 ([1-(vg/c)^2 ]/ (m vg)^2 )
= (c^2/vg)^2 - c^2

となるので

vp = c^2/vg

p<<mcという近似をすれば

E = mc^2 √[1 + (p/mc)^2 ] ～ mc^2 [ 1 + (1/2)(p/mc)^2 ] = mc^2 + p^2/2m

となるので、

vp = E/p = mc^2/p + p/2m

ここから静止エネルギーからの寄与分の第一項を落したものが非相対論的な

vp(非相対論) = p/2m = (m vg)/2m = vg/2

こんな感じで、エネルギーがらみのものはすべて静止エネルギー分、相対論と非相対論で絶対値が変ってしまうのですが、それで問題はないらしいです。

どちらが本当に正しいかと言われれば、非相対論は相対論の近似でしかないので相対論の式のほうが正しいのでしょう。ですが、非相対論の世界では静止質量を無視しても世界はちゃんと回っているので、静止質量を無視して考えても特に困難は生じないということなんでしょうね。(これはmc^2が小さいから無視するという意味ではない。大きさで言ったらmc^2は莫大なエネルギーです。)

本質的なところは正直よくわかってないので、あいまいな言い方に終止しますが。

お礼

貴方の、相対論と非相対論で静止エネルギーの分絶対値が変わってしまう、という説明ですっきり理解できました。この説明が一番ツボだったので、ベストアンサーにさせていただきます。
丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.7

s_hyama

それ以前に、
Vp=1/2Vgとしている立場と、ド・ブロイ波のエネルギーEとして、前者はE=hν=1/2mv^2

などちゃんとした教本にはないはずですが、何の話ですか？っていうことです
出典をいってみてください

補足

Vp=1/2Vgとしてあるのは
http://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/metadb/up/81936204/RefdeBroglie.pdf
Vp=c^2/vとしてあるのは
『理論物理への道標(下)』です。

回答No.6

s_hyama

大体、光量子で粒子と波動の二重性を言っておきながら、粒子運動の相対性原理に波動を適応するのが間違いね。
だから同じ公式使ってローレンツはだめでアインシュタインは正しいどうこう言う問題ではないよ

粒子と波動の二重性の定式化ができてないだけ、c^2＝v^2＋w^2

したがって慣性の法則の粒子速度vは数学的に無限だけど、光速度に拘束されるだけで、光速度によって座標は引かれるから、ｖはそれによって意味を持つ、しいていえばその速度に適応限界があるだけですね。

光をエーテルの振動とする考え方では、アインシュタインが行ったように光をガス分子のように扱ってこれに運動論を適用することはできない。
http://www10.ocn.ne.jp/~shima/dualism.html

っていってますから、

奇妙なことに、波動関数の絶対値の 2 乗を粒子の存在確率だと解釈することで 計算が事実とうまく合うことは分かってきてはいるのだが、 なぜそうなのかということになると、やはり分からないままなのである。 　モデルより先に計算がうまく出来てしまったという変わった状況である。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/debroglie.html

っていう量子論と相対論が相容れない壁があることも前提にかんがえないといけないので、難しい質問なんです。

補足

何度も回答ありがとうございます。
要するに、量子論と相対論の間には、矛盾が存在するのだから、両者の間に厳密性を求めるのはナンセンスだということですか？
よろしくお願いします。

回答No.5

s_hyama

＞群速度、位相速度、粒子速度、波動速度の4種考えるということですか？

じゃなくて、紳空中の物質波の関係は

真空中の物質波：　粒子速度(v)、波動速度(w)、波長(λ)、位相屈折率(np)
C^2＝vg^2＋vp^2＝v^2＋w^2
w＝λ/T、np＝C/vp＝C/ｗ＝1/√(1－v^2/C^2)

相対論は、粒子と波動の二重性が定式化できてないんです。
そのドブロイ仮説もまたしかりなんで、質問自体が物理学でないですね。

むしろ、そのままでは光量子は相対論ときびしく矛盾するものであった。
http://www10.ocn.ne.jp/~shima/dualism.html

したがって波動速度w＝fλにおいて、全エネルギーであるＥ＝nhf＝Mc^2＝mwc
（n:量子数、f:周波数、M：重力質量、m：慣性質量、w：波動速度）

運動エネルギーや位置エネルギーと全エネルギーの関係は以下です。

このように粒子エネルギーはラグランジアン形式をとっているが、運動エネルギー＋波動エネルギーを含めた全エネルギーではハミルトニアン形式で力学的エネルギーが保存されている。
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n259661

回答No.4

NemurinekoNya

#3です。

リンク先は、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%BE%A4%E9%80%9F%E5%BA%A6

訂正、よろしくお願いします（ペコリ）。

回答No.3

NemurinekoNya

知恵袋さんの引用先には、
～～～～～～
物質波の群速度
http://ja.wikipedia.org/wiki/群速度
～～～～～～
があるじゃないですか（ニコニコ）。

回答No.2

s_hyama

粒子速度と波動速度は違いますよ？

万有時間（t）の定義：　周波数(f)、周期(T)
f＝1/T

エネルギー（E）の定義：　プランク定数（h）
E＝hf

真空中の波の速さ

真空中の電磁波：　真空中の光速度(C)、 群速度(vg)、位相速度(vp)、真空中の波長(λ0)、真空中の波動速度(w0)、距離(d)、時間(t)
w0＝λ0/T＝C＝d/t＝vg＝vp

真空中の物質波：　粒子速度(v)、波動速度(w)、波長(λ)、位相屈折率(np)
C^2＝vg^2＋vp^2＝v^2＋w^2
w＝λ/T、np＝C/vp＝C/ｗ＝1/√(1－v^2/C^2)

物質場の波の速さ

重力場の電磁波：　重力ポテンシャル(φ)、電磁ポテンシャル(w^2)、群屈折率(ng)
C^2＝2φ＋w^2、w＝λ/T、ng＝C/w

重力場の物質波：　屈折率(n)
C^2＝2φ＋v^2＋w^2、w＝λ/T、n＝C/w

媒質中の電磁波：
w＝λ/T、np＝C/vp＝C/w

媒質中の電磁波：　前面速度(vf)
vg・vf＝C^2＝C・vg・ng、ｖf＝C・ng、C＝vg・ng＝vf／ng

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n258813

補足

回答ありがとうございます。
よくわからなかったのですが、群速度、位相速度、粒子速度、波動速度の4種考えるということですか？結局、位相速度はどうなるのでしょう？真空中の物質波に絞って補足してくだされば、ありがたいです。よろしくお願いします。

回答No.1

NemurinekoNya

vが光速cに対して十分に小さいとき、
　エネルギー = mc^2 = m0c^2 + (1/2)m0v^2
というやつですよね。
m0は静止質量。

　E = mc^2-m0c^2 = (1/2)・m0v^2
　E = hν = (1/2)・m0v^2
と考えればいいですよ。

このように考えれば、矛盾は生じません。
そして、
　E = hν = (1/2)・m0v^2
は、速度vが遅い場合の近似式と見なすことができます。

また、
エネルギーは、位相速度ではなく、群速度で伝わります。

非相対論的な場合
　E = p^2/2m　　　　　　（pは運動量、p = mv)
群速度vgとエネルギーとには、
　vg = ∂ω/∂k = ∂E/∂p = ∂(p^2/2m)/∂p = p/m = v
となって、粒子の速度と群速度vgは一致します。
この結果は、相対論を考慮しても同じです。

補足

回答ありがとうございます。
矛盾が生じないということですが、Vp=1/2Vg
Vp=c^2/Vg
に関してはどう考えれば良いのでしょう。
補足していただければ幸いです。
よろしくお願いします。