ローレンツ変換への導出過程を教えて下さい

質問

以下は教科書からの大体の抜粋です。
系Sにおいて、相対論的運動量と相対論的エネルギーをそれぞれ、
p=mv=m_ov/√(1-v^2/c^2),
E=mc^2=m_oc^2/√(1-v^2/c^2) で表わすとき、（ここで、m_o は静止質量、E_o=m_oc^2 は静止エネルギーです。）これらの量のローレンツ変換を求めるために、まず系Sに対してx軸に平行に相対速度uで動いているS'系ではプライムを付けて、
p'=m_ov'/√(1-v'^2/c^2),
E'=m_oc^2/√(1-v'^2/c^2)　で表わされる。そこで、p'、E'とp、E との関係は
ｖ’をvとuの加法則 v'=(v-u)/(1-v*u/c^2)　を用いて、
p_x'=(p_x-E*u/c^2)/√(1-u^2/c^2)…(1),　p_y'=p_y,　p_z'=p_z,
E'=(E-p_x*u)/√(1-u^2/c^2),…(2)　となる。とあるのですが、(1)、(2)式への導出の方法が見当もつきません。
独学で勉強しているおじんです。導出過程を詳しく教えて頂ければ幸いです。宜しくお願いします。

回答No.1

ryn · ベストアンサー

代入して計算するだけですが少々面倒ですね．
　p'
　= m_ov'/√(1-v'^2/c^2)
　= m_o * {(v-u)/(1-uv/c^2)} / √(1- (v-u)^2/(1-uv/c^2)/c^2)
ここで，分母分子に 1-uv/c^2 をかけると
　= m_o * (v-u) / √((1-uv/c^2)^2 - (v-u)^2/c^2)
　= m_o * (v-u) / √(1 - 2uv/c^2 + (uv)^2/c^4 - (v/c)^2 + 2uv/c^2 - (u/c)^2)
　= m_o * (v-u) / √(1 + (uv)^2/c^4 - (v/c)^2 - (u/c)^2))
　= m_o * (v-u) / √{(1-u^2/c^2)*(1-v^2/c^2)}
　= m_o*v/√{(1-u^2/c^2)*(1-v^2/c^2)} - m_o*u/√{(1-u^2/c^2)*(1-v^2/c^2)}
　= p_x/√(1-u^2/c^2) - E*u/√(1-u^2/c^2)
　= (p_x-E*u/c^2)/√(1-u^2/c^2)
のような感じです．

E' のほうも同じようにやってみてください．

お礼

ryn様、今晩は。早速のご回答ありがとうございます。
大変丁寧で分かり易く過程を示して頂いてありがとうございました。
最初の分母のv'にもやはり代入しても良かったのですね。この分母のv'はベクトル表記で無かったものですから、どう処理するのか疑問に思っていました。還暦を越えたおじんですので、ちょっと複雑な計算になるとつい億劫な気持ちが先走りし諦め掛けていたのですが、やはり質問して良かったです。またの質問の際も宜しくお願いします。ありがとうございました。