ガウスの法則を使った問題について

質問

図のような同心の円筒状導体が、面電化密度ρsaとρsbを持っている。
DとEは２つの円筒間のみに存在し、他では０である。円筒間のDとEを求めよ。
という問題です。

問題集には、微分系のガウスの法則を用いての解法が記されているのですが、積分系での解法が記されていません。積分系と微分系での解き方の違いを知りたいため質問させていただきました。
積分系では解けないというわけではないですよね？

積分系での解き方よろしくお願いします。
それと、もう１つなのですが、どういう問題に積分系を使うのか微分系を使ったほうがいいのかよく分かりません。詳しく教えていただけるとありがたいです。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

まず，
○ 面電化 → 面電荷
○ 微分系 → 微分形，積分系 → 積分形
○ 問題の円筒は無限に長い
あるいは，長さ >> 半径 なので端の効果は考えなくてよい
○ 真空中
ですね．

問題の円筒と同心の円筒(半径 r，高さ h，表面を S とする)に
ガウスの法則を適用すれば簡単です．
ベクトル E を (→E) などと書くことにして，
対称性から (→E) は半径方向でその大きさは軸からの距離 r のみの関数．
ガウスの法則の面積分∫_S (→E)・d(→S) について，
側面では (→E)∥d(→S) なので (→E)・d(→S) = E dS
上下底面では (→E)⊥d(→S) なので (→E)・d(→S) = 0．
したがって
(1)　　∫_S (→E)・d(→S) = 2πrhE
です．
一方，内部の電荷の総和は
(2)　　r<r_a なら ゼロ
(3)　　r_a < r < r_b なら 2πr_a h ρ_sa
(4)　　r_b < r なら 2πr_a h ρ_sa + 2πr_b h ρ_sb
です．(1)が(2)(3)(4)の 1/ε_0 に等しいのがガウスの法則ですが，
問題から(4)はゼロ，すなわち
(5)　　r_a ρ_sa + r_b ρ_sb = 0
で，
(6)　　r<r_a なら E = 0
(7)　　r_a < r < r_b なら E = r_a ρ_sa / (ε_0 r)
(8)　　r_b < r なら E = 0

> どういう問題に積分系を使うのか微分系を使ったほうがいいのかよく分かりません

上の解答のポイントは(1)で E が∫の外に出せるところです．
ガウスの法則は
(9)　　∫_S (→E)・d(→S) = (1/ε_0)×(S 内の電荷総量)
ですが，E は積分の中にあるので，一般には直接は求められません．
そりゃ，そうですよね．
積分値がわかったって，被積分関数は一般には決まりません．
(10)　　∫{0→1} f(x) dx = 1
から f(x) はわからないのと同じことです(無数に可能性がある)．
ですから，電荷(誘電体や導体があるならそれについても)配置が対称性が良くて，
(1)の様に E が∫の外に出せるときでないと積分形のガウスの法則から
直接電場を求めることはできません．

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

一般に、積分系は扱いにくいです。
どちらかと言ったら微分の方が扱いやすいので、微分系でときます。積分系で式を立てても、結局微分系に直してしまいますよ。(ベクトル発散定理やストークスの定理で微分系に戻してしまうため)

微分方程式と積分方程式では、微分方程式の方が良く聞きますよね？
積分は微小量を足し合わせることをしますが、 微分は微小量のみを扱います。
基本的に微分系を知っていれば、積分系で解く必要はありません。

積分系は、あくまでイメージをつかむのに長けているのです。かといって、積分系で論じる人はいますが。

補足

微分系の方が一般的なんですね。
導体球や、導体球殻などの問題ではよく積分系の方が使われますが、この場合微分系の方が難しくなるのでしょうか？
というより、導体球などの問題を微分系で解いている参考書などは今まで見たことがありません。

ちなみに、導体球の外側の電界というのは微分系だと、(1/r^2)d(r^2*Dr/dr)=0という式で解くのですよね？