ガウスの法則

質問

円筒領域の表面の閉曲面で磁束密度に関するガウスの法則（積分系）が成り立つことを示せ。という問題なのですが、∫B・nds=0(B,nはベクトル)という公式に当てはめればよいのでしょうが、どのように求めればよいのでしょうか？　周回積分の計算の仕方もいまいち理解できないので良ければ教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 前提としては、
> 均一な磁束密度の中にあって中心軸がその磁束密度の方向に平行な円筒領域（底面積S、長さL）で考える。
> とありました。

なるほど，それなら出題意図がわかります．

ベクトルを(→B)などと書くことにします．
(→B)に関するガウスの法則は
(1)　　∫(→B)・(→n) dS = 0
です．
左辺の最後のSは大文字です．
> 周回積分の計算の仕方もいまいち理解できないので
と書かれていますが，周回積分(つまりぐるっと一周線積分)ではなくて
面積分です．

(→n) の方向はご存知ですよね．
面に垂直で面の内側から外側に向いています．

円筒の表面は，側面，上底面，下底面，なので，
３つの面について考える必要があります．
側面については (→B)⊥(→n) ですから，内積はゼロで積分してもゼロです．

(→B) 方向を上底面にとりますと，上底面では (→B)∥(→n) ですから
(2)　　∫{上底面} (→B)・(→n) dS = B×(上底面の面積)
です．
一方，下底面に関しては (→B)∥{-(→n)} ですから，
(3)　　∫{下底面} (→B)・(→n) dS = - B×(下底面の面積)

あとはおわかりですよね．

お礼

ありがとうございました。問題を解くことができました。

回答No.1

siegmund

何を前提にしているのかがよくわからないのですが，本当に
> 円筒領域の表面の閉曲面で磁束密度に関するガウスの法則（積分系）が成り立つことを示せ。
というだけの問題でしたら，
ガウスの法則（積分系）は任意の閉曲面について成り立つから，
円筒領域の表面の閉曲面についても当然成り立つ，
というより仕方がありません．
でも，これでは適切な問題とは思えません．

もしかすると diva7 さんは前提条件など読み落としていないでしょうか？
例えば，無限に長い直線電流の作る磁束密度について，
その直線を軸に持つ円筒領域の表面の閉曲面で
磁束密度に関するガウスの法則（積分系）が成り立つことを示せ，
というのでしたらいかにもありそうな問題です．
これでしたら，磁束密度の具体的な様子がわかりますから，
実際にガウスの法則の面積分を実行して見せて，
なるほど成り立っているな，ということになります．

補足

申し訳ありません、確かに読み落としていました。
前提としては、均一な磁束密度の中にあって中心軸がその磁束密度の方向に平行な円筒領域（底面積S、長さL）で考える。とありました。