御知恵をお貸し下さい。 xの方程式3x^2+4ax

質問

xの方程式3x^2+4ax+4a^2-2=0が解をもつとき、その解はともに-1と1の間（両端を含む）にあることを証明せよ。

回答No.2

masudaya

解を持つときという言葉を実数解を持つときとすれば解けるかと思います.
実数解を持つ条件は判別式≧0なので
3-4a^2≧0
∴|a|≦√(3)/2 ・・・(1)
またf(x)=3x^2+4ax+4a^2-2としたとき変曲点はf'(x0)=0
6x0+4a=0 よってx0=-2a/3 ・・・(2)
→|x|≦√(3)/3<1
また,f''(x)=3>0より下に凸となる,
これから,f(x)=0の解がともに-1から1の間にあるには
f(1)≧0,f(-1)≧0でかつf(x0)<0時となる.
まず,f(x0)は(2)より
f(x0)=4/3a^2-8/3a^2+4a^2-2=8/3a^2-2
これは(1)より,f(x0)≦0となる.
またf(1)=4a^2+4a+1=4(a+1/2)^2≧0,f(-1)=4a^2-4a+1=4(a-1/2)^2≧0
となるので,題意が満たされることが示せる.

(1)と解の公式を用いても示せると思いますが,
もっと煩雑になりそうな気がします.

回答No.1

info22_

f(x)=3x^2+4ax+4a^2-2=3(x+(2a/3))^2+(8a^2/3)-2
より、解を持つ時は
f(-2a/3)=(8a^2/3)-2≦0 ...(1)
　a^2≦3/4 ∴-√3/2≦a≦√3/2 ...(2)
の時である。
この時、y=f(x)の軸の方程式はx=-2a/3で(2)の時
　-1<-√3/3≦-2a/3≦√3/3<1
なので軸はx=-1とx=1の間にある。
また
　f(-1)=1-4a+4a^2=(1-2a)^2≧0
　f(1)=1+4a+4a^2=(1+2a)^2≧0
および(1)の関係が成り立っているから
その解はともに-1と1の間（両端を含む）にあると言える。

お礼

ありがとうございます。おかげでたすかりました。