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自然数全体の集合と非負の偶数全体の集合の大きさは等しい
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おわかり頂ける説明が難しいんですよね。 無限ホテル 部屋数が無限のホテルがあります。部屋には番号がふってあります。 1, 2, 3, ・・・・ 今、部屋は満員です。 ここに一人の客が来ました。ホテル支配人は館内放送で、 「お客様、恐れ入りますが、一つとなりの部屋にずれてください」 客は、N→N+1に移りました。そしてNo.1の部屋が空き、そこに 後から来た客が入りました。 ∞+1=∞ 100人来た時も同様に、N→N+100に移ってもらいました。 ∞+100=∞ 次に、なんと！無限人の人が来ました。ホテル支配人はあせらず、 館内放送で、 「お客様、恐れ入りますが、今の部屋番号の2倍の部屋に移って ください」 N→2Nに移り、奇数の部屋が空いたので、後から来た無限人の客 が入りました。 ∞+∞=∞ 自然数の数は有理数の数とも同じです。 無理数も含めた実数となると、自然数より大きな無限大です。 自然数と実数は1対1対応させられません。 以上
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- motchandesu
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N={1,2,3,...},M={2,4,6,...} とします。 まず、f:N→M として、f(n):=2n と定義します。 そうすると、f は単射です。 ∴lNl<=lMl. また、g:M→N, g(m):=m/2 においても、g は単射。 ∴lMl<=lNl. 従って、lNl=lMl.
- cirrhata
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集合の大きさを測るには、 １．一方が他方に含まれる、といった包含基準 ２．１対１に対応する要素がとれる、といった対応基準 といった二種類の方法があるみたいです。 包含基準でいけば自然数全体のが大きそうですが、対応基準で行けば大きさは等しい気がします。 で、どちらが正しいとかではなく、両方が正しいのだと思います。 (野矢茂樹さんの本の受け売りですが、もしこの文が間違っていたとしたら、それは読み方を誤った私の責任です。)
お礼
ありがごうざいます。
- winterofmeei
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自然数全体の集合と非負の偶数全体の集合はともに無限集合であるので、どちらの方が要素数が多いということはいえません。 有限集合の要素数という考え方を拡張したものに集合の濃度というものがあります。質問の「集合の大きさは等しい」というのはこの濃度が等しいという意味です。 「集合と集合の間に、全単射が存在するならば等しい濃度を持つ」 というのがあります。これは前の方々が説明されているように、１対１対応がとれるという意味です。 つまり、質問にある二つの集合の間には全単射が存在するので、これらの濃度は等しいということになります。 また、直感的には「要素数は自然数の方が多い」のですが、 実際には「二つの集合が有限集合のときは、片方がもう片方の真部分集合ならば、二つの集合は等しい濃度にならないが、無限集合の場 合には、濃度が等しいことがあり得る。」 のです。
お礼
ありがとうございます、
- ranx
- ベストアンサー率24% (357/1463)
> というのがありますが、なぜですか？ 1対1の対応づけができるからです。 対応づけのできない集合同士は等しくありません。 無限であると有限であるとを問わず。 > どうみたって、要素数は自然数の方が > 多いですよね？ どうして？どんな自然数をとっても、対応する 非負の偶数があるでしょう？余るのなら自然数が 多いですけど。
お礼
ありがとうございます。
- hinebot
- ベストアンサー率37% (1123/2963)
自然数全体の集合 N＝{1,2,3,4,5,6,…} 各々の要素を×２すると {2,4,6,8,10,12,…} これは、非負の偶数全体の集合となる ということですね。 要素数はどちらも、∞（無限大）ですね。 ∞（無限大）を考えるとき、こういうことはよく出てきます。
お礼
ありがとうございます。
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お礼
ありがとうございます。