線形代数：直交行列・回転行列について

質問

• 直交行列と回転行列についての定義と性質を説明します。
• 直交行列におけるベクトルの基礎体はCであり、回転行列におけるベクトルの基礎体はRに限定されます。
• 回転行列は常に実数を成分とする正方行列であり、回転行列は直交行列である必要があります。

回答No.6

noname#221368

#1です。

＞複素数を成分に含む直交行列をユニタリ行列というのですね。
＞itukadarekatoさんの仰るように直交行列もやはり実行列の概念
＞なのでしょうか？

　すいません。誤解を招いたと思います。直交行列という用語の使い方に関しては、皆さんの仰るようにするのが無難です。「複素数を成分に含む直交行列」ですが、これはたんに私が、ユニタリー行列の事をそう言いたがるという話に過ぎません。だってユニタリー行列の行や列も、（歪内積の意味で）直交するじゃないかよぉ～、・・・という単純な発想です(^^；)。

　ふつうユニタリー行列とセットにして考える歪内積のために、ユニタリー行列Ｕでは、#2さんの仰るように、

　　Ｕ・Ｕ＾*＝Ｅ

です。「^*」は、複素共役転置を表します。

　以下はまた、余計な話かも知れませんが、そうであっても自分のイメージでは、ユニタリー変換もまた回転なんです。どうしてかと言うと、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の等長変換だからです。

＞等長変換において、並行移動を含まない変換を
＞直交変換と言ったと認識しています。

をわかっておられるなら、（本当の）直交変換　⇒　実ベクトル空間上の等長変換　は自明だと思いますが、逆をやってみた事はあるでしょうか？。等長変換　⇒　直交変換（実行列）　です。

　等長変換に線形変換という限定を付けなくても、等長変換　⇒　（線形である）直交変換　という結果が導けます。等長変換の変換挙動を想像し、直交変換が回転である事を知っていれば、上記は等長変換の意味からあるいは明らかかも知れませんが、最初はやっぱりちょっと驚きました（話が出来過ぎてるぞ～・・・と(^^)）。このような事情から私には、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の回転に「感じられます」。

＞ミンコフスキー空間についてですが、
＞これはミンコフスキー時空と言われるものですか？
＞私の認識では相対性理論を定式化する上で用いられた
＞3次元ユークリッド空間に時間の概念をあわせたものと認識しています。

　これも蛇足だったかも知れません。ご想像の通りのミンコフスキー時空です。そこでは光速度不変の原理があるため、

　　s^2＝x^2＋y^2＋z^2－c^2・t^2　　(1)

の形のノルム2乗が重要になり、sは世界距離と言われます。ミンコフスキー空間では(1)を、

　　(x，y，z，ict)　　　(2)

の形の複素ベクトルの（歪内積でない）内積の結果と考えます。ｉ　は虚数単位です。(2)の全体は、明らかに「成分」4つの複素ベクトル空間の部分空間ですよね？。

　内積付きのベクトル空間（計量空間）の基本的目的は、次のようになります。

　　・内積が、その空間の幾何学を規定する．

　簡単のため、

　　(x，ict)　　　(3)

で考えます。(3)に対して　例えば(1)のようなノルムを認めると（古くは付値とも言われました）、原点からの等距離集合は、原点を中心にした双曲線になります（円じゃない！）。

　　x^2－c^2・t^2＝0　　(4)

と考えると、原点を通る2本の直線になり、これが光円錐と言われるものです（原点に一致しない！）。

　このような妙な距離を持つ空間に対して、平行線の公理などは成立するのか？と問う事は、数学的には意味があります。興味があれば、エルランゲン・プログラムなどで検索してみて下さい（警告：　興味があればです！・・・(^^；)）。

　内積には重線形性があるので、内積の挙動はじつは、空間を張る基底{eｉ}に対する値で決まります。{eｉ}を標準基底とすれば、ふつうのユークリッソ空間なら、ｉ≠ｊについてはeｉ・eｊ＝0，ｉ＝ｊではeｉ・eｉ＝1ですが、ミンコフスキー空間では時間を表す4番目の次元で、

　　e4・e4＝－1　　　(5)

になります。(5)が(4)のような事も起こす根本原因であり、それが「内積が、その空間の幾何学を規定する」の意味です。しかしユークリッド空間とミンコフスキー空間の幾何学の違いは、(5)だけです。それで擬似ユークリッド空間とも言われる訳です。

＞擬似ユークリッド空間とはアフィン空間のことでしょうか？

　アフィン空間とは、原点移動も考慮した線形変換の結果で得られるものと、自分は理解しています。なので、ミンコフスキー空間に原点移動も考慮すれば、擬似アフィン空間と言うべきだと思います。

　最後に、また余計な話かもですが、detＡ＝－1となる直交変換は一般に、回転と鏡映（座標反転）の合成変換に分解できます。しかし座標反転しないのが自然です。なんでわざわざ反転するの？、という話です。「どうしても」という理由がなければ、ふつうは反転させません。なので直交変換を、detＡ＝1に限ると思っていても、実用上は余り問題はありません（数学的定義は違いますよ）。

　同様に置換は、座標軸の入れ換えです。だったら「元に戻して考えましょうよ」となって、実際上は、xとyを互いに入れ換えて考えればOKよね？、・・・となります(^^)。

お礼

親切にご回答ありがとうございます。

私には高度な内容になってきたのでもうちょっと
何度か読ませて下さいm（_ _）m