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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:線形代数 直交行列 回転行列)

線形代数:直交行列・回転行列について

noname#221368の回答

noname#221368
noname#221368
回答No.6

 #1です。 >複素数を成分に含む直交行列をユニタリ行列というのですね。 >itukadarekatoさんの仰るように直交行列もやはり実行列の概念 >なのでしょうか?  すいません。誤解を招いたと思います。直交行列という用語の使い方に関しては、皆さんの仰るようにするのが無難です。「複素数を成分に含む直交行列」ですが、これはたんに私が、ユニタリー行列の事をそう言いたがるという話に過ぎません。だってユニタリー行列の行や列も、(歪内積の意味で)直交するじゃないかよぉ~、・・・という単純な発想です(^^;)。  ふつうユニタリー行列とセットにして考える歪内積のために、ユニタリー行列Uでは、#2さんの仰るように、   U・U^*=E です。「^*」は、複素共役転置を表します。  以下はまた、余計な話かも知れませんが、そうであっても自分のイメージでは、ユニタリー変換もまた回転なんです。どうしてかと言うと、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の等長変換だからです。 >等長変換において、並行移動を含まない変換を >直交変換と言ったと認識しています。 をわかっておられるなら、(本当の)直交変換 ⇒ 実ベクトル空間上の等長変換 は自明だと思いますが、逆をやってみた事はあるでしょうか?。等長変換 ⇒ 直交変換(実行列) です。  等長変換に線形変換という限定を付けなくても、等長変換 ⇒ (線形である)直交変換 という結果が導けます。等長変換の変換挙動を想像し、直交変換が回転である事を知っていれば、上記は等長変換の意味からあるいは明らかかも知れませんが、最初はやっぱりちょっと驚きました(話が出来過ぎてるぞ~・・・と(^^))。このような事情から私には、ユニタリー変換も複素ベクトル空間上の回転に「感じられます」。 >ミンコフスキー空間についてですが、 >これはミンコフスキー時空と言われるものですか? >私の認識では相対性理論を定式化する上で用いられた >3次元ユークリッド空間に時間の概念をあわせたものと認識しています。  これも蛇足だったかも知れません。ご想像の通りのミンコフスキー時空です。そこでは光速度不変の原理があるため、   s^2=x^2+y^2+z^2-c^2・t^2  (1) の形のノルム2乗が重要になり、sは世界距離と言われます。ミンコフスキー空間では(1)を、   (x,y,z,ict)   (2) の形の複素ベクトルの(歪内積でない)内積の結果と考えます。i は虚数単位です。(2)の全体は、明らかに「成分」4つの複素ベクトル空間の部分空間ですよね?。  内積付きのベクトル空間(計量空間)の基本的目的は、次のようになります。   ・内積が、その空間の幾何学を規定する.  簡単のため、   (x,ict)   (3) で考えます。(3)に対して 例えば(1)のようなノルムを認めると(古くは付値とも言われました)、原点からの等距離集合は、原点を中心にした双曲線になります(円じゃない!)。   x^2-c^2・t^2=0  (4) と考えると、原点を通る2本の直線になり、これが光円錐と言われるものです(原点に一致しない!)。  このような妙な距離を持つ空間に対して、平行線の公理などは成立するのか?と問う事は、数学的には意味があります。興味があれば、エルランゲン・プログラムなどで検索してみて下さい(警告: 興味があればです!・・・(^^;))。  内積には重線形性があるので、内積の挙動はじつは、空間を張る基底{ei}に対する値で決まります。{ei}を標準基底とすれば、ふつうのユークリッソ空間なら、i≠jについてはei・ej=0,i=jではei・ei=1ですが、ミンコフスキー空間では時間を表す4番目の次元で、   e4・e4=-1   (5) になります。(5)が(4)のような事も起こす根本原因であり、それが「内積が、その空間の幾何学を規定する」の意味です。しかしユークリッド空間とミンコフスキー空間の幾何学の違いは、(5)だけです。それで擬似ユークリッド空間とも言われる訳です。 >擬似ユークリッド空間とはアフィン空間のことでしょうか?  アフィン空間とは、原点移動も考慮した線形変換の結果で得られるものと、自分は理解しています。なので、ミンコフスキー空間に原点移動も考慮すれば、擬似アフィン空間と言うべきだと思います。  最後に、また余計な話かもですが、detA=-1となる直交変換は一般に、回転と鏡映(座標反転)の合成変換に分解できます。しかし座標反転しないのが自然です。なんでわざわざ反転するの?、という話です。「どうしても」という理由がなければ、ふつうは反転させません。なので直交変換を、detA=1に限ると思っていても、実用上は余り問題はありません(数学的定義は違いますよ)。  同様に置換は、座標軸の入れ換えです。だったら「元に戻して考えましょうよ」となって、実際上は、xとyを互いに入れ換えて考えればOKよね?、・・・となります(^^)。

RY0U
質問者

お礼

親切にご回答ありがとうございます。 私には高度な内容になってきたのでもうちょっと 何度か読ませて下さいm(_ _)m

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