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剰余類の証明
こないだ 特定のa∈群Gに対し ∀h ∈H ∃h' ∈H HはGの部分群 ah=h'a が成立すれば、 aH=Ha と言えるのか？ という質問をした者なのですが、もう一度質問させていただきます。 自分なりに考えて見たところ、 ∀h ∃h' ah=h'a が成立するなら勿論 ah=h'h^(-1)ha h'h^(-1)=g∈Hとすると ah=gha と常になることになります。 と言う事は、 aH={ah l h∈H}={gha l h∈H｝ となるはずです。 ですが ｛gha l h∈H｝ は ｛ha l h∈H}=Ha と同等であるため （gha=h'a∈Ha => gHa⊆Ha, ha=g(g^(-1)h)a∈gHa => Ha⊆gHa) aH=gHa=Ha となる。 という証明を考えついたのですが、 これはあっているのでしょうか？ 真贋の判定よろしくお願いします。
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gはhに依存するhの関数 g=g_h=h'h^{-1} だから {gha|h∈H}={(g_h)ha|h∈H} と gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H} が 同等かどうかの証明が欠落していますので 真とはいえません。
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お礼
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補足
もう一度よく考えたところ、 gHa=(g_h)Ha={(g_h)ka|k∈H} と書かなければいけない理由を理解しました。 んー。。ということは、 特定のa∈群Gに対し ∀h ∈H ∃h' ∈H HはGの部分群 ah=h'a が成立したとしても aH=Ha と言えない、と言う事なんでしょうか。。 しかし、 ∀h ∈H ∃h' ∈H ah=h'a ならば、 aH⊆Ha となり、Hがもし有限ならばラグランジュの定理により、aHとHaの要素数は同じですから aH=Ha (aHはHaに含まれるが、両者は同じ要素数のため) となり、最低でも有限ならば、aH=Haは成立しているように思えるのですが、どうでしょうか。。 後 g=g_hの意味も出来れば教えていただきたいです。