数学概説を教えてください

質問

問1　3×3×3の立方体を27個の単位立方体に分割し、これから真ん中の単位立方体1個を取り除いた、体積が26の立体を考える。この立方体を13個の1×1×2の直方体で構成できるか。

問2　a×ｂのチェス盤を1×ｄのタイルで敷き詰めることができるための、必要十分条件はｄがaかｂを割り切ることであることを証明。

問3　a×ｂ×ｃの直方体を1×1×ｄの直方体に分割できるための必要十分条件は、aかｂかｃのいずれかがｄの倍数であることである。（この場合は、(ｘ、ｙ、ｚ)の位置の単位立方体を色ｘ＋ｙ(mod d)で着色して考えよ）

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

問1:
立体を構成する単位立方体を白と黒に塗り分ける。ただし、となり合う単位立方体が互いに異なる色になるようにします。角を黒にすれば、8つの角と各面の中央が黒、他は白になるから、黒い単位直方体が8+6=14個, のこり12個が白。
もしこの立体が13個の直方体で出来ているとすると、となり合う単位立方体が互いに異なる色なのだから、それぞれの直方体は白い単位立方体1個と黒い単位立方体1個から出来ていることになる。従って、単位立方体は黒いのも白いのもそれぞれ13個あるはず。
という訳で、構成できない。
同じ考え方を使えば、以下の問も分かるかも。

お礼

とても分かりやすい解説ありがとうございました。
参考に以下の問題も、頑張ってといてみます。