数学でわからない問題があります。

質問

数学の課題でわからないものがあります。

教えてください。

問1.　(x/a)+(y/b)+(z/c)=1(ただし、a,b,c＞0）で定められる平面のx≧0,Y≧0,z≧0の部分の面積を答えなさい。

問2.　半径の半球x^2+y^2+z^2≦a^2　(z≧0）の質量密度がp（x,y,z)=1(一定）とするとき、この半球の重心を答えなさい。

よろしくおねがいします。

回答No.2

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問1.(x/a)+(y/b)+(z/c)=1(ただし、a,b,c＞0）
これは(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)を通る平面の式なので
求める面積Sは三辺がA=√(a^2+b^2),B=√(b^2+c^2),C=√(a^2+c^2)
の三角形の面積であるから、ヘロンの公式を使えば求まる。
2s=A+B+C
とおくと
S=√{s(s-A)(s-B)(s-C)}=(1/4)√{(ab)2+(bc)^2+(ca)^2}

問2.
重心：G(0,0,gz), 重心のz座標：gz
gz=M1/M=(3/8)a
ただし、p(x,y,z)=1なので
M=(2/3)πa^3,M1=∫[0,a]z(1-z^2)dz

回答No.1

f272

(1)
与平面とxy平面,yz平面,xz平面で囲まれた立体は三角柱になっていることはすぐ分かり，その体積は簡単に求まる。
しかし同じ立体の体積は，与平面を底面として，高さを原点と与平面の距離だとしても求まる。

(2)
対称性を十分に考慮すると，重心はz軸上で0<z<aにあって，
∫[z=0:t](√(a^2-z^2))dz=∫[z=t:a](√(a^2-z^2))dz
となるtを求めると点(0,0,t)が答え