直方体サイコロの面のでる確率

質問

立方体のある面のでる確率は1/6。
では辺がa,b,cの直方体のそれぞれの面のでる確率は？
（例えば1:1:10の直方体はほとんど立ちませんよね？？）

回答No.9

ykkw_2001

あの・・・

http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=153311
に書いたんですが、
エネルギ保存と反発係数（エネルギの放散）で、どうかな・・と

高校レベルですが・・

お礼

ありがとうございます。
とりあえず、数学カテゴリは閉じて、物理カテゴリに移りますか。

回答No.8

nozomi500

nagata様へ、（つっこみありがとうございます。）

長方形そのものの重心は、対角線の交点にありますから、重心と接地点を結んだ直線が鉛直方向からずれた方向に倒れます。

回答No.7

nagata

>「図形」だけで考えれば、長方形の対角線（接地した頂点）が傾いたほうに倒れることになります。

ホントにそうでしょうか。地面に対して対角線が垂直になるようにそっと長方形を立てたときに
対角線の右側が上の方がふくれてて左側が下の方にふくれてたら必ず右に倒れそうな気がするんですが。
てこの原理で支点から遠い所に力が加わった方が大きな力になりますよね。

補足

そっと立てたら、やっぱり重心が最も高い位置（すなわち対角線）からずれた方向にいきませんか。

回答No.6

nozomi500

「図形」だけで考えれば、長方形の対角線（接地した頂点）が傾いたほうに倒れることになります。問題は、
「倒れていったまま、隣の頂点が接地したところで止らずに、回転する」こと。
　　（サイコロ、というものは、そもそも転がるもので、転がさずに目を出してい
　　　たらインチキですね）

最後の「ひと山」が、長辺を持ち上げて短辺で止る、というのはかなり確率としては低いです。同じ「1：3」でも、投げ方、材質などで違うでしょうね。重力加速度も考慮して、計算しないと。・・ああ、計算はパス！

立方体の場合、どの面も条件が同じなので、１/6になります。「いいとも」のサイコロみたいに、角のまるいサイコロでも、丸いところで止ることがなければ1/6です。直方体で細長いサイコロの場合、あれだけ角を丸くしたら、縦長にとまる確率はほとんどないと思います。

お礼

なるほど。
1:3の長方形で、重心のもっとも高くなるところは√10/2。
底辺が１から３に移るときに必要な位置エネルギEa（相対値）は、
　Ea=√10/2-1/2
底辺が３から１に移るときに必要な位置エネルギEb（相対値）は、
　Eb=√10/2-3/2

　∴　Eb/Ea=0.075

だんだん実験値（0.04：試行数100ですが。）に近づいてきました。
この考え方どう思います？

補足

さっきのコメントで１→３、３→１が逆でした。
次の状態に移るためには最大位置に達せなければいけないと考えました。

回答No.5

nagata

直方体で考えるのはあまりに難しいのでとりあえず2次元で考えてみませんか。
no.1の回答の捕捉にcが十分長いやつで試した,とありますがそれでならまだ
望みがありそうな気がします。直方体はそのあとと言うことでどうでしょうか。

補足

はい、是非お願いします。定性的な考え方だけでも教えて下さい。

回答No.4

nozomi500

気になって、またきました。

＞短辺側の落ちたとき、突き刺さって、倒れないことも考えられますよね？
について、
突き刺さった場合、これはたぶん、「斜め」になっているわけだから、「目」としてはノーカウントですかね。立方体のサイコロを振ったとき、ちゃんと立っていないと（寝ている、ともいえるのですが）、ノーカウントでしょう。

補足

だんだん質問の意図するところからずれてきたようなので、
あまり特殊な環境は考えず、イカサマもなしとすれば、無作為につかんで振れば,均一な立方体は物理常数、投げ方によらず、1/6になるであろうという前提に立って、これと同じ環境、材質で直方体を振れば、いきなり物理常数、投げるときの速度（回転方向も含めて）が影響しだすのか？
と質問を変えましょうか。

回答No.3

nozomi500

>数学的確率だけではなく、慣性モーメントなども考える必要はないのでしょうか

もちろん、バウンドすることはかんがえないといけません。最初にお断りしています。
「確率がかわる」とか、「確率だけでは」という言い方ですが、これは、確率計算にバウンドその他の条件を入れていないだけで、「そういう前提のもとでの確率」と思ってください。確率どおりにいかない、というのは、偶然がつづいているか、イカサマなどの要因があるか、ということです。床の弾性、材質、おとしかた、すべてを考慮した確率計算ができるならば、試行回数をふやせば、ほぼ確率どおりの結果になるはずです。

回答No.2

masakaji

回答ではないのですが、その物体の重量や、落とす角度、落とす方法によって、確率はかわりますよね。
　空気抵抗とかまで考えれて、その物体が非常に重いものなら、かえって、短辺側の落ちたとき、突き刺さって、倒れないことも考えられますよね？
　そうすると、短辺側の確率がかなり上がるのではないでしょうか？

お礼

なるほど。
単位面積当りの重量も違うのですね。
ということは、弾性等も考慮しなくてはいけないのかな？
短辺側がより弾みやすくなり、確率低下の原因に？
（masakajiさんの考察とは逆ですが）
やはり数学というより物理的考察が必要みたいですね

回答No.1

nozomi500

計算が面倒なので、省略。
重心をPとすれば、斜めに落ちたとき、Pが辺の真上からずれたほうに倒れる、と考えてみましょう。（実際は、回転したりバウンドしたりするので、そうはいかない）

一方向から見た場合、長方形の外接円を描いて、対角線によってできる中心角の比になるでしょうか。（これを両方向。直方体の「外接球」を描くことになりますか・・）

計算するとすれば、三角比を使うことになるでしょうが、そこまで計算しても・・・。

補足

やっぱり立体角の比ですか。
簡単のためにa:b=1:3、cは非常に長いもので、試してみました。
中心角の比からは短辺側は約20%(2/π*tan-1(1/3)）
の確率ででるはずなのですが、
100回の試行で短辺で立った回数は４回(4%）。
この試行数ではなんともいえないかもしれませんが、
数学的確率だけではなく、慣性モーメントなども考える必要はないのでしょうか。