円錐の水平断面と距離について

質問

円錐を水平に切った時の、上側と下側の断面円の面積は？
同じだったら、円柱になってしまう。でも上のほうが小さいというなら頂点方向への傾きもどう決まるか不思議だし、第一、下側と上側の円との距離はゼロだから、上が小さいというのもおかしい。
物理的に考えると、連続（隣り合わせた位置・距離ゼロで接触）というのは存在せず（もしあるとしたら運動？）、非接触の距離が、円錐の傾きを決めるんでしょうか？

回答No.4

foomufoomu

けっこう、けっこう、前の説明で納得してしまうようでは、大数学者にはなれません。
それでは、もう少し、数学的に説明しましょう。

円錐側面の傾きをｘとすると、普通なら、
ｘ＝（ｒ１－ｒ２）／ｄ
で、求められます。（ｒ１、ｒ２：上下の円の半径　ｄ：上下の円の間隔）

ここで、ｄ＝０の場合を考えると、ｒ１＝ｒ２なので
ｘ＝０／０
これを変形すると
０＊ｘ＝０
この場合、ｘは何であっても、この式は成立します。このような場合を「ｘは不定」と呼び、通常の方法ではｘを決定できないことになります。

そこで、登場するのが、前に書いた「極限」の方法で、
＃　ｘが何でもよいなら、ごく小さなｄのときから類推したｘで定義することにしよう
ということです。
いささかズルイやり方のような気はしますが、これが現代数学の限界ということです。

現在、物理ではあたりまえに使われている「微積分」はこの考えに基づいて生まれたものなので、これを否定してしまうと、物理の法則は、ほとんどが成立しないことになります。
とはいえ、現実に（単純な式で表せない）微積分の計算をするときは、小さなｄで計算して代用するしかないので、つくづく限界のある方法だと感じています。

あなたは、大数学者の素質がありますから、限界を突破できるよう、これからもがんばってください。

回答No.3

foomufoomu

ゼノンのパラドックス　ですね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%8E%E3%83%B3%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

このなかの「飛んでいる矢は止まっている」に近い話でしょう。
この種の問題は、「極限」の考え方を持ち込まないと解けません。

質問の場合は、「距離ゼロでは側面の傾きはない」と、考えたのではダメで、
距離1cmでも、距離1mmでも側面の傾きは変わらない。なら、限りなく小さい距離でも側面の傾きは変わらないはず。
と、考えないといけません。

補足

数学的にはおっしゃるとおりだと思います。またゼノンのパラドクスは知らなかったので読ませていただき勉強になりました。
ただ、数学と物理学にありがちな違いに疑問を覚えたので物理学的（現実的）なところどうなのか投稿した次第です。
数学で容積を求めたとき、その重さはわかりませんよね、それはその立体を構成する材料が何かによるからです（構成粒子感の距離及び量子運動も計算されれば別ですが）。粒子が何であれ完全に密着（距離ゼロ）した完全密度であれば、量子の種別も無くなるので重さは同じ容積なら同じになるので容積によって数学でも解が得られますが、残念ながら物質というのは存在せず、それは粒子レベルに突き詰めていても、量子的な運動であり、距離ゼロ接触は存在が無いことになり角度や形を形成するものは連続線はなく不連続が故に形成されるのでしょうか？との物理的・現実的な疑問です。どう思われますか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

これはこういう話と同じですよね。

自動車を一定の速度で走っているとする。0～10秒で 100m 走ったとすると
10秒～20秒での最初の位置(時刻=10秒での位置)は もちろん
10m。 でもそれでは 時刻十秒で 車は動いていないことに
ならないのか？

速度は変化の割合だから Δx = vΔt なので Δt =0 なら速度のいかんにかかわらず
Δx = 0

同様に水平に切った面同士の距離は 0。なので同じ円になるのは当然だと思います。

回答No.1

spring135

円錐を水平面に対し、どう置いているのかを指定しなければ話になりません。

断面はいくつですか。

状況をまず図示してください。