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角度計算
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- 178-tall
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スプレッドシートに取散らかしたデータから書き込んだため、支離滅裂になりました。シートを清掃し、整理してみます。 はみ出し三角形における余弦式 d^2 = B^2 + C^2 - 2BC*sinθ …(1) B = b - (a/cosθ) C = c - a*tanθ 二次近似 (x = sinθ) B = b - a*(1 + x^2/2) C = c - a*x を (1) へ代入した二次方程式、 (ab)*x^2 - 2bc*x + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 の小さい方の解。 x = (c/a){1 - SQRT(1 - E)} …(2) E = 1 - {a/(bc~2)}*{(a-b}^2 + c^2 - d^2} θ= arcsin(x) のエラーは、0.15 rad にて約 0.1 % 。 高次の近似は煩雑過ぎ、あえなく断念。 (1) に逐次解法 (一次 Newton) を適用したほうが確実。 シート精度内にて、ピタリ収束します。
- 178-tall
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二次近似項モデルの改訂版を…。 s = sinθ として近似精度アップしてみた結果です。 はみ出し三角形にて余弦定理を使った s の 二次方程式 6a(b - a)s^2 - 2bcs + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 前稿との違いは、s^2 の係数だけ。 θ= arcsin(s) のエラーは、0.15 rad 以下なら 0.1 % 以内。
- 178-tall
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>ガッチリした逐次解法の開発が要りそう。 「近似式」じゃありませんが、d^2 の余弦算式を使い Newton 方式でピタリと解けます。
- 178-tall
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>b(1ー0.01)<=a<=b(1+0.01)の時 0.1%以下の誤差に収まる、近似式はあるでしょうか? 「a が b の 99% 以上、かつ b を超えない」ですね。 θが零の近くに引き戻されたので、状況の再検分。 たとえば、 a = 10.00 b = 10.20 c = 2.80 として、 θ≒arcsin(c-d)/a という粗っぽい近似を使っても、θの誤差は約 0.8 % 。 (ab)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 からの一次近似解だと、θの誤差は 0.5 % 弱。 一次近似じゃ無理。 ガッチリした逐次解法の開発が要りそう。
- 178-tall
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どうせ二次方程式を解くのなら、二次近似項までを「根こそぎ拾う」モデル。 二次近似 1/cosθ≒1 + (θ^2/2), sinθ≒θ, tanθ≒θ 辺長が b-a{1+(θ^2/2)}, c-aθ, d のはみ出し三角形 にて余弦定理を使ったθの 二次方程式 (ab)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 θ= 15 deg あたりまでエラーが 5% だった例にて、θ= 20 deg あたりまでのエラーが 3% 以内になりました。 以上。
- 178-tall
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θ= 15 deg あたりまで「現消費税率程度のエラー」におさまりそうなモデル例。 一次近似 cosθ≒1, sinθ≒θ, tanθ≒θ 辺長が b-a, c-aθ, d のはみ出し三角形 にて余弦定理を使ったθの 二次方程式 a(2b-a)θ^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 解θ(rad) ふたつのうち、近似域のものを選ぶこと。
- 178-tall
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> θ≒{c^2 + (b-a)^2 - d^2}/(2bc) 前稿の一次近似は「事業仕分け」なみの大失敗でした。 敗因は、θ^2 の項をすべて無視したことにある。 そこで、(aθ)^2 の項だけ拾ってみます。 θの 二次方程式になりました。 (aθ)^2 - 2bcθ + {c^2 + (a-b)^2 - d^2} = 0 当然ながら、解が二つ。 一方は、近似域から大きく外れた「無縁根」らしい。 一例で検算してみると、θ= 10 deg = 0.175 rad あたりが「現消費税率程度のエラー」の限界。 再考を要するようで…。
- 178-tall
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>θは0から15度ほど ....... なら、現消費税率程度のエラーを目指して…(cosθ≒1, sinθ≒θ なる一次近似) 。 青線 (c) からはみ出した三角形に「近似的余弦定理」を適用してみると、 θ≒{c^2 + (b-a)^2 - d^2}/(2bc) ですが、さて?
お礼
ご回答いただき、ありがとうございます。 近似的余弦定理が理解できませんでした。 Arccosθ≒ ということでしょうか?
- k_yuu01
- ベストアンサー率39% (23/58)
図のように補助線を引いてみてはどうでしょ 三平方の定理より e^2=a^2+c^2 角αに注目。余弦定理より cos α = (c^2+e^2-a^2)/2ce あとはarccosでαが求まりますね。 角βに注目。余弦定理より cos β = (b^2+e^2-d^2)/2be あとはarccosでβが求まりますね。 角θは辺aceから成る三角形の角度の一部ですので θ=180°ー90°ーαーβ これでいいですかねぇ
お礼
ご回答ありがとうございます。 余弦定理は忘れていました。 これで何とかなりそうです。
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