センター数学

質問

数IIBでいつも取れないところがあります。

それは空間ベクトルの最後の方と二次関数や三次関数が複雑に交わってその面積を出したりする最後の方の問題です。

一時間解説を聞いてあ…あぁ…という感じなのに15分で解いている人はどの様にその複雑な情報を処理しているのですか⁉

書いてみても情報が多い為きたなくなって全く何がなんだかわかりません。

助けてください‼

回答No.5

tekcycle · ベストアンサー

文系でセンター数学9割狙いとなると、志望校自体限られてくるように思います。
その場合、「二次」や私大がどうなるのか、という話になるでしょう。
本当にセンターの話をしていて良いのか、二次か私大の数学を考えなければならないのか、で話が変わってきます。

センター数学は、誘導があるからかろうじて解けます。
もし、そのベクトルの(3)を誘導無しで出したら、理系難関大学か一橋か、という問題じゃないでしょうか。
だから、「判るかボケ！！」となるわけですし、もう一つは、「誘導に乗らずに自力でやろうとすると時間的に厳しいな」となるわけです。
まだ難関大学二次の方が、時間的余裕はありますから。
二次なら、判らないな、じっくり考えてみよう、と、仰るように一時間考えるかもしれません。トレーニングでそれが半分になる、ということならあり得る話でしょう。
そんな暇はないな、誘導に乗っちゃえ、とパッと考えますね。
センターで怖いのは、その誘導にどうしても乗れない場合です。大問一つ落としかねない。
私程度ならその怖さはつきまといます。
現に、センター物理は大問を落としていますし、センターじゃないですが、慶應理工の穴埋めは落としています。(他で取ったんで問題ありませんでしたが)
穴埋めの方が、解き方が限定されるんで厄介なのです。

それに比べると、一橋の問題は、難問だと思います。東大京大はよく知りません。その他旧帝大は、たぶん標準レベルの問題だと思います。どこかで見たような。
だから、どこかでやったように解けばいい、ということにもなります。それさえできれば。
センターは厄介と言えば厄介です。まぁ満点狙いじゃないんで。

センターをどうするか、二次私大をどうするか。それによって教材が変わりそうです。
どうなっていますか？

敵を知り、己を知れば、百戦して負けること無し。　孫子

敵の話はそんな感じ。
じゃぁ己の話はどうなってますか？
難関高校で難しいことをやりすぎて、簡単なことができないためにセンターで躓くことは良くありそうですが。
勿論、簡単なことができなければ難しいこともできないのですが。
理数音痴が、例えばマスコミ辺りに山ほど居るために、国が混乱しているわけです。
早慶MARCHなんていう理数音痴の培養器も原因でしょうが、難関高校の欲かいた難しすぎる数学の授業も良くないのだと思っています。
公式や基礎的な解法が、全部一通りスラスラ出てくるようになってますか？
模試でも6割というと怪しいと思うんですが。

あなたが建物の5階にあがろうとするとき、ハイジャンプで登ろうとしますか？
私は階段を一歩ずつ上がっていきますが。
底辺高校でビリの奴が東大を志望することは一向に構わないと思いますが、だからといって東大受験生用の教材が使えるわけではありません。そいつならまず小学生用の教材を片付けないと。
あなたの身の丈にあった物が何なのか。それを片付けないことには次のステップに進めないと思います。

青チャート。
そうですね、英単語を覚えるのにオックスフォードの英英辞典は良いと思いませんか？
単語が沢山載っているし、用例も沢山載っています。何より英文が沢山載っているので英語力が強化されますよね。
私なら絶対にやらないけど。
青チャートに何か特別な素晴らしいことが書いてあるわけでもないのでしょうし。
あなたが一年生で、二年間かけて学校の勉強と平行してやっていく、且つ、やっていけるだけの学力がある、というのなら止めませんけど。
今からなら、持っておいて、調べ物用に使うのなら良いんじゃないでしょうか。
しかし、どこで躓いているかによっては、それだって難しすぎるということはあるかも知れません。
だから、あなたの頭の中がどうなっているのか、の方が大事なんです。三回目ですが。
どこまでのことができていて、どこからやらなければならないのか。
一番効率的なのは、そこを見極めることでしょ？

回答No.4

snaporaz

＃３に誤記あり。

第５パラグラフの終わり、「英免状」→「平面上」です。

回答No.3

snaporaz

空間にしても平面にしても、ベクトルは「定義に立ち戻ると迷うことはない」というのが私の記憶です。

「三本脚の椅子」をイメージしてください。面を規定するには、三点だけが必要。四点目は不要です（下手な細工だとガタつく、つまり床面を特定できない）。

その三点は何で形成されるかというと、一点を共有する二つのベクトルで規定されます。「はさみ」です。一本の脚から残りの二本に対し引く矢印がベクトルです。

「ひとつの起点からの二本の線、すなわちベクトル」がそれぞれ好き勝手に伸びたり縮んだりする、その合成ベクトル（平行四辺形の対角線）が動き回rれるエリアのことを平面と呼ぶわけです。二本の線を好き勝手に伸び縮みさせる仕掛け、その係数が「媒介変数」です。

平面の三点を捕まえて、それを二つの媒介変数を使って表現できたら、それが平面上の点の全てになります。おまけに、その面に対するユニークな（唯一無二の）ベクトルが一つだけ特定されます。垂線です。いわゆる「法線ベクトル」です。英免状の任意の二つのベクトルに対して「内積がともにゼロ」のベクトルです。

椅子の例でいうと、三本の脚の立脚点を二本の線でつなぐと、その長さの無限の組合せで「床面のすべての点は規定される」、またさらに「鉛直」も規定される、ということです。床が斜めなら椅子も斜めに立つ（斜めに座ることになる、平面に対する垂線が鉛直でなくなる、その角度が規定される）のです。

あとはその「（媒介変数で得られる）無限の座標の組み合わせ」が何と交わりどこに位置するのか、を調べるだけです。ベクトルとは、少なくとも高校レベルでは、ほぼすべて「面をイメージする」ために導入する概念です。これがブレなければ、単なる「幾何」に置き換えられ、何をやるべきかを迷わなくなる、と思うのです。

高校で公式は大事だよ、定義や定理は大事だよ、というのはそこです。概念を正しくイメージすることです。日本語にすると長くなりますが、上位者は、三次元ＣＡＤみたいなものをサッと頭の中に描いているはずです。

お礼

非常に丁寧に回答してくださってありがとうございました！

回答No.2

tekcycle

特にベクトルや行列は、数学科の本格的なベクトルと、私みたいな工学系であまり数学を使わない(ベクトルはまず出てこない、行列も殆ど無い)連中の、言わばインチキ数学というか簡易数学とで、全然頭の中身が変わっちゃいます。
予備校の講義を立ち聞きしていて、やっぱり数学科出とおぼしき人のベクトルはもの凄いです。
話を聞けばその時は解りそうですが、さてそれが実践できるのかな、という。
そういう頭の中を、例えばあなたが覗いたところで、一体どうなるというのでしょう。

センターなんて入門も入門です。
おそらく本格的なベクトルなんて要らないでしょう。
ベクトルの初歩的概念や操作方法だけしか問われないでしょうね。ベクトルは。奥が深すぎて。

まず、図を描きましたか？
数学はお絵描きですよ。
図やグラフを散々描いて、書いては消し書いては消しして、そうやって見ていくものです。
いえ、勿論数学の天才君達がどうするかは知りません。でも、天才じゃなくてもセンター数学は満点取れます。
天才君の脳味噌は、見ても参考にならないと思います。ぶっ飛んでて。
で(1)。
→ＥＦは、っていきなり判るわけ無い。
原点をＯとして、→ＯＥと→ＯＦから→ＥＯ＋→ＯＦ＝→ＥＦを計算することになります。
じゃぁ→ＯＥって？
これもいきなり判るわけ無い。
いきなり判るかよ、って気付くことが重要です。
でも、→ＯＡでＡ地点まで行って、そこから→ＡＢでａほど進んだところがＥ地点です。
これも、△ＯＡＢを描き、ＡＢ上にＥをａ：１－ａの地点に点Ｅを描いてやれば判りやすいでしょう。
すると、→ＯＥは？
同様に、→ＯＦは？

→ＥＦと→ＡＢが垂直な場合は、内積でも取って０になる条件を考えれば良いんでしょう。
垂直、直角、から内積を連想しましたが。
閃いたと言うより、「他に思いつかない」んで「有名なテクニックを考えてみた」だけです。
それが正しいかどうかは知りません。

(2)は割愛。ただし、そろそろ図に描きづらくなった、図が見辛くなってきたし、抽象的になってきたなぁと。
ただ、(1)での「ウォーミングアップの要領で」やれば良いんだろうな、と。

(3)、ｂの値とＨの座標？
凄い話だな、面倒臭そう、「誘導に乗るのが楽そう」。

→ｓＢＨ、→ｔＯＧと表される。「(1)と同様に」「その通りですね」。
その通りだ、と解らなければなりません。
このとき、
「何だか判らないが存在する物をまず存在すると仮定して置いてしまう」
という
「基礎中の基礎」
の考え方が求められます。
方程式でも何でもそう。
何度も痛い目に遭って、この基礎のテクニックを身に付けてください。
Ｈを置いてから考える。ｓとｔを置いてから考える。
誘導があるだけ親切です。
とにかく、「既に答えが見えている超天才君」か「このパターンの問題を知っている物知り君」以外には、普通の東大合格者にも、まだＨが何だか、ｓとｔが何だかは「全く判らない」のです。
従って、
～～表される。よって、ｂ＝、ｓ＝、ｔ＝、って「　判　る　か　ボ　ケ　！！！」
となります。ここも判るわけ無いんです。
丁寧に判るようにひもといていくんです。
センターの誘導のような「リズム」では「絶対に解けない」んです。
超天才君ならいざ知らず、普通の東大合格者でも、そんなリズムでは解いてないはずです。
騙されてはいけません。そのリズムで解けないのは自分が間違っている、のではありません。
そんなリズムで解けてしまうなら、センター数学は30分くらいで全部解き終わるでしょう。

随分見辛いですが、一応図を見て、ＥＦＧやＢＣを確認します。
→ＯＨには、→ｔＯＧという「書き方」以外に、→ＯＢ＋→ＢＨ＝→ＯＢ＋→ｓＢＣ
という「書き方」があるはずです。
じゃぁ両者を比べてみましょう、となるでしょうね。
ＯＧとＢＣが交わるわけですから、ＯＧ側からの条件と、ＢＣ側からの条件とが出てきそうなもんです。
ｘｙ座標系での直線と直線の交点でもそうですよね。
交点は、片方の直線の式に乗っているからその式を満たす、もう片方の直線にも乗っているからその式も満たす。
たぶんあんまり考えないですね。誘導に乗ってみる。乗ってみて、さてどうなるか。それから考えるでしょうね。
基本的に、解けるように作られているんで。

解いてないんで、これ以上の何かが必要かもしれませんが、「頭の中」というお話ですので、頭の中を開示してみました。
私の頭の中で正解かどうかは判りませんが。
今のところ、特に閃くようなことは何もありません。まぁ内積に気付くくらいか。正しいかどうかは知りませんが。

積分について。
基本はやはり、棒グラフを足していったら面積が出ますよね、棒グラフを細くしていけばいいですよね、という奴です。
さて、ここで大きな声で叫んでください。

　「　だ　か　ら　な　ん　や　ね　ん　！　」
　「　ど　な　い　せ　い　っ　ち　ゅ　う　ね　ん　！　！　！　　」

すっきりしたところで、「数学的に」「どないかする」方法をやれば良いんです。
三次式だろうが二次式だろうが、まず「グラフを描きましょう」。
面積であれば、「どこからどこまでなのか」という話があるはずです。－∞から∞までの面積を出すのは、センターではしんどいかもしれません。
むしろ、「交点がどこになるのか」なんてことで「一問できてしまう」わけで。そっちの方が「お得」。
どこからどこまでなのか、何から何を引けばいいのか、「描いたグラフを見て」考えます。
さて、棒グラフです。ｘ＝ｘ1のとき、横幅がΔｘ、縦幅が、ｆ(ｘ1)－ｇ(ｘ1)ですから、
「棒グラフの面積は」
｛ｆ(ｘ1)－ｇ(ｘ1)｝×Δｘ
ここでΣの出番です。
ｎ＝1からａ(としておきましょうか100でも100万でも良いです)まで、面積を出す範囲内の棒グラフを全部足してやりましょう。
Σ｛ｆ(ｘn)－ｇ(ｘn)｝×Δｘ　(ｎ＝1 to ａ)
どこかで見た式に似てませんか？
しかし、このままでは棒グラフの幅Δｘが大きすぎ、カクカクした図形の面積になっちゃいますので、Δｘを極小にし、極細棒グラフを足していきます。
それが∫です。
∫｛ｆ(ｘ1)－ｇ(ｘ1)｝ｄｘ (区間がどこやらからどこやらまで)
こいつの「解き方」は判りますよね？
やり方は判るけど、理屈が判らなくてキモい、というなら極限から導いたって良いですよ。(私は忘れました)
極限やって、微分やったら極限が判らなくなってまた極限からやって、積分やったらまた極限から解らなくなって極限やって微分やって。
なんてやってましたね。
まぁセンターのみならほどほどで良いでしょう。

大事なのは、ちゃんと図を正確に書くこと。
そこに円でも絡んでいて、途中から円の外側の上側と下側の面積を出したり、また途中から円の上側の面積だけで良くなったり、なんてこともあるかもしれません。

ニュースタンダードというのがどんな物か判りませんが、たぶん易しい解説書が要るだろうと思います。
辞書的に使うなら白チャートか黄チャートか。それをやり込んで、という使い方は、特にあなたが高三なら時間的にお勧めしません。たぶん。他の物でも良いです。
演習書や演習書兼参考書は、あなたの学力レベルによって話が変わります。
頭の中が見てみたい、なんて言ってたら知りませんよ。って私はそんなに詳しくないですがね。
基礎をしっかりすべきなのか、センター試験レベルのことをすべきなのか、文系入試標準レベルのことをすべきなのか。

何か心当たり、質問は？

お礼

非常に丁寧にありがとうございます！

文系ですが90％弱取らないといけないんです！でも今は良くても6割しか取れなくて夏の模試で取れなかったら志望校を変えなくてはなりません！でも絶対に行きたいんです！
青チャートがいいとよく聞きますけど、1番効果的な勉強法はありますか⁉（あまり時間もないので、例題だけを一通りするとか）

回答No.1

tekcycle

具体的に、あなたが解いて解けなかった問題と、あなたがその問題に対してやったこと、考えたこと、を書いてみてください。
特に、仮に記述であるなら答案に書いたこと、よりも、何を考えたのか、答案として書かないまでも、試行錯誤も含めて考えたこと、の方が重要かもしれません。
抽象的なことであれば、参考書で勉強しろ、としか返答できません。
それと、今持っている教材も書いてください。
念のため聞いておきますが、あなたは数列でシグマ記号(Σ)、なんてのは習っているんでしょうか？
習ってなキャダメだとか、そういう話じゃありません。私の頃と課程が違うでしょうから。

補足

学校で配られているニュースタンダードとメジアンという教科書を使っています。

Σは習いました！

具体的に問題をあげるのが大変なので…聞いておいてすいませんヽ(；▽；)ノ
ちなみに今回複雑でお手上げだったのは2007年度のセンター過去問のベクトルです。

ただ空間ベクトルが得意な人の頭の中を知りたいなと思いまして‼