数列 規則

質問

下記の数列の第513項の値を求めよ。
(可能ならばどういう規則かまでお願いします)

(1)
{1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,…}

(2)
{1,1,1,2,2,1,2,1,1,3,2,1,2,4,3,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,4,3,2,3,5,4,2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,4,3,2,3,5,4,2,…}

(3)
{1,8,15,22,29,30,23,16,9,2,3,10,17,24,25,18,11,4,5,12,19,26,27,20,13,6,7,14,21,28,29,22,15,8,1,…}

(4)
{1,2,4,7,1,6,2,9,7,6,6,7,9,2,6,1,7,4,2,1,1,2,4,…}

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

うーん。
数字の画数とか、６月のカレンダーとか、
そういう辞書的情報をノーヒントで持ち込むのは、
数学としてはフェアでないし、
バズルとしてもスマートでないなあ。

(3)は、30→24ぐらいはまだしも、2→3だの、
まして7→1は、カレンダー上でも不規則で、
規則美に欠ける。

(2)(4)は、まだ解けていないが、そういうネタの
問題であれば、興味も失せてきた。
降参して退散しよう。誰か後をよろしく。

お礼

ありがとうございます。

補足

(3)は確かに規則の点から純粋に数学ではないですね。(汚いと表現しておきます)
(2)は(1)とほぼ一緒なんで、(1)が解けてしまえば特段解く価値はないです。(16進数で同じことをやっただけ)

(4)は暗号チックで数学的なんですが…
規則はわからなくとも、周期がわかるので値はすぐ出てきます。
ただ、規則を数学的にということですね。かなりきれいに書けますし、規則も面白いです。
周期の中で対象的となっていることがミソです。
とりあえず明日の朝辺りまで誰も解答がなければ、お礼のところに解答を載せて締めます。

回答No.6

MagicianKuma

a[n]=(n*(n-1)/2+1) mod 10 でも良いから、a[513]=9
着想もなにも、1,2,4,7,1ときた瞬間に見えたのだよ。ワトソン君。うそです。
正直言うと、一桁の数値ばかりで9もあるから、剰余系かなという当てずっぽうです。

お礼

そうですね。
ただ、mod 10となる理由にはなっていません。

したがって、導き方が少しNGです。

20個ずつ周期的であり、10個目と11個目を境に折り返した形になっています。
剰余系の特徴です。

a[1]=1,a[n+1]≡a[n]+n mod 10 を仮定したなら、a[10]=6であることがわかります。
このとき、
a[1]=6とした場合のa[2],a[3],a[4],…は、
a[1]=1とした場合のa[9],a[8],a[7],…に対応します。
(数列の左から右に進む場合、-n≡10-n mod10ごとに変化するためです。n=9ならn=10のときから１大きくなり、n=8ならn=9のときから２大きくなる。…以下略)

また、
a[1]=1とした場合のa[11],a[12],a[13],a[14],…が、
a[10],a[9],a[8],a[7],…と同じになることからも対称性が確かめられます。

また、Σ_i=1→10 (i) ≡5　mod10、Σ_i=1→20 (i) ≡0　mod10
となることから周期20の半分の10を法とするのは妥当、ということになります。
(※a[1]～a[10]でa[1]=1,a[n+1]≡a[n]+n mod 10 の仮定が成り立つことは確認しておく必要があります)

まとめますと、対称性と周期に着眼していただきたかったですね。

補足

すみません、記述ミスです。

>数列の左から右に進む場合

数列の右から左に進む場合　の誤りです。

回答No.5

MagicianKuma

(4)a[1]=1, a[n+1]=(a[n]+n) mod 10 でどうだ。

お礼

正解です。が、値がないです。

できれば、着想の過程が欲しかったですね。

回答No.3

alice_44

(3)
階差をとって考えると、なんとなく規則性が見えてくるが、
できれば、あと6項先まで提示して欲しかった。
前の項に +7 づつしていって、30 を超えそうになったら
+7 の換りに +1 を行い、その後は -7 づつに転ずる。
今度は -7 づつしていって、0 になりそうになったら
-7 の換りに +1 を行い、また +7 に転ずる。
…とすればよいのだとは思うのだけれど、
+7 を止める所が 24+7 なのか 23+7 なのか、
-7 を止める所が 8-7 なのか 7-7 なのかは、示された例からは判らない。

とりあえず、23+7 も 7-7 も +1 には換えない
という仮定で考えてみると、
62項周期でまた 1+7 から繰り返すことになる。
(実際に延々と漸化してみたら、第63項が 1 だった。)
513=62*8+17 なので、第513項は、第17項と同じ 11。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ご指摘のとおり、あと数項必要であったかもしれません。

No.1さんのお礼にもあるとおり、(3)は6月のカレンダーでした。
縦の列ごとに区切り、上から下へ数字を並べ、終わったら右隣の列を今度は下から上へ数字を並べていきます。列が変わるごとに上から下、下から上の並びを交互に繰り返しています。これが60個ごとに周期をなすので、513を60で割った余りの33項目の"15"が答えになります。

回答No.2

alice_44

あまり数学でもないけれど、パズルとしてはちょっと面白いね。
(1) {
1,1,1,1,2,2,1,2,1,1,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
2,2,2,2,3,3,2,3,2,2,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,…}
なんかオボロゲに周期性があるみたいだ。
10項づつブロックになっていて、ブロック毎に
第1ブロックの各項に 1,1,1,2,2,1,2,1,1,2,…
が足してある。この、足してある数の並びが
数列自体の第2項以降と同じになっているように見える。
もし、そうだとすれば、提示してある項から先は
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,
4,4,4,4,5,5,4,5,4,4,
4,4,4,4,5,5,4,5,4,4,
3,3,3,3,4,4,3,4,3,3,…
かな。
数列の第52項が 3 だから、
第52ブロックは、第1ブロックを +3 した
4,4,4,4,5,5,4,5,4,4。
第513項は、その 3 項目。つまり、4。

お礼

素晴らしい！4は正解です！

実は、第n項のnを数字で書いたときの画数を表しています。

補足

パズルのような印象だと思いますが、(4)の問題だけは数学的な規則に則ったモノになっています。

おそらくalice_44様は答えがすぐ出てきてしまうかもしれませんので、
規則まで考えていただきたいです。(ちなみに、漸化式の式１本で表せます。)

回答No.1

neKo_deux

グラフを描いてみると、規則性はあるっぽいですが、データがもう1周期分くらい無いと断定が出来ません。
{1,2,…}が等差数列なのか？等比数列なのか？判断しろみたいな。

お礼

3番はカレンダーでした。
縦の列ごとに上からと下からの並びを交互に繰り返しています。これが60個ごとに周期をなすので、513を60で割った余りの33項目の"15"が答えになります。

他をお願いします。