円順列の問題

質問

円順列の問題で分からない問題があります。

・１０人を２つのグループに分ける方法は何通りあるか。

答えは５１１通りなのですが…。これは１人も入らない場合はないのですよね。

回答お願いします。

回答No.8

alice_44

あまり説明の要らない解法を勧めたつもりだけど…
少なくとも A No.5 の人は、アレのほうが解かりやすいと考えた訳だからね。

10人の各人に、グループ A か B かを書いた札を持たせて、一列に並ばせる。
2 文字を自由に 10 桁並べる場合の数と同じだから、(2の10乗) 通り。
そこから、
前に書いたとおり、全員が A に入る場合と全員が B に入る場合を除いて、
A と B をそっくり入れ換えたものを同一視するために、2 で割る。

No.1 (そして No.5) の解法のように、一旦バラして数えたあと、
総和するときに二項定理を使って (1+1)^10 を導いても、同じ式が出てくるが。

回答No.7

asuncion

まあ、回答者どうしでもめても仕方がないわけで…。
肝心な点は、質問者さんが#6さんの考え方を理解できているかどうか、
ということでありましょう。

回答No.6

alice_44

そういう煩雑な計算を避けて、
((2の10乗)-2)/2
とやれって言ったんだけどな。

回答No.5

yyssaa

既に正解が回答されていますが、念のため。
まず、この問題は円順列とは無関係です。
単に１０人を２つのグループに分ける方法は何通りあるか？
という問題です。
そして、２つのグループを、例えばAグループ、Ｂグループと
いうように区別する場合は、答えが１０２２通りになり、区別
しない場合は答えが５１１通りになるということです。
区別する場合は、例えばＡグールが１人でＢグループが９人
の分け方と、Ａグールが９人でＢグループが１人の分け方は
別の分け方になりますが、区別しない場合は同じ分け方に
なります。従って、区別しない場合は区別する場合の二分の
一になるわけです。
区別しない場合の計算は以下の通り。
１人と９人に分ける分け方：10C1=10通り
２人と８人に分ける分け方：10C2=45通り
３人と７人に分ける分け方：10C3=120通り
４人と６人に分ける分け方：10C4=210通り
５人と５人に分ける分け方：(1/2)*10C5=126通り
以上を合計して５１１通りになります。

回答No.4

asuncion

＞なぜ÷２するのでしょうか？

#3さんの回答のとおりです。
グループAに太郎君1人、グループBに太郎君以外の9人
という場合と
グループAに太郎君以外の9人、グループBに太郎君1人
という場合とを区別はしない、ということです。
「太郎君と、太郎君以外の9人」という意味では同じことですから。

回答No.3

alice_44

10人に、それぞれ A,B どちらのグループに入るかを選ばせた後、
全員が A に入る場合と、全員が B に入る場合を引いとけばいいでしょ。
最後に、グループ名 A,B を無視するために、A,B をそっくり入れ換えた
場合を同一視して、総数を 2 で割っとけば ok。

回答No.2

asuncion

円順列の話ではないように思います。

問題を解く考え方は、
１）２つのグループを便宜上グループA、グループBとする。
２）グループAに１人、グループBに９人を振り分ける方法は何とおり？
３）グループAに２人、グループBに８人を振り分ける方法は何とおり？
...
10）グループAに９人、グループBに１人を振り分ける方法は何とおり？
11）実際には、グループAとグループBとを区別する必要はないはず。つまり、
　　　例えば１人と９人のグループ分けをすることを考えると、上記の２）と10）とを
　　　別個に考える必要はないのではないか？と考える。

あとは、nＣrやΣあたりを使えば、正解に到達するはず。

補足

回答ありがとうございます。

この問題は（３）番なのですが、

（２）の問題は、

「１０人をグループＡ，Ｂに分ける方法は何通りあるか」

答えは１０２２通りで、

解説では、（３）の答えは、

「（２）で、Ａ，Ｂの区別をなくして÷２する」とあるのですが、

なぜ÷２するのでしょうか？

二度手間申し訳ないです。

回答No.1

151A48

円順列の問題なのかな？

１人も入らないグループがあったのでは２つのグループに分けることにならないと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

円順列でしたね。