大小比較の問題です

質問

a＞b＞0、a+b=1であるとき、√a+√b、√(a-b)、√ab、1の大小を比較せよ

a+b=1よりa=1-b、a＞bに代入すると1/2＞b
a+b=1よりb=1-a、a＞bに代入するとa＞1/2
よって1＞a＞1/2＞b＞0

ためしにa=9/16、b=4/16を代入すると
√a+√b=1.25
√(a-b)≒0.559016
√ab=0.375
よって√a+√b＞1＞√(a-b)＞√abと考えられる

√a+√b＞1を示す
√a+√b＞1
⇔a-b＞√a-√b

1＞√(a-b)を示す
⇔1＞√(a-b)
⇔1＞a-b

√(a-b)＞√abを示す
√(a-b)＞√ab
⇔a-b＞ab
b=1-aより
2a-1＞a-a^2
⇔a-1＞-a^2
⇔a^2+a＞1

これは正しいでしょうか？もし間違いならどこが間違いなのかとその解き方を教えて頂きたいです

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞ためしにa=9/16、b=4/16を代入すると

a+b=1　になっていないから、意味のない代入です。

＞√a+√b＞1　⇔　a-b＞√a-√b

なぜ？？？
これを示すなら、
√a+√b＞1　⇔　(√a+√b)^2＞1　⇔　a+b+2√(ab)＞1　⇔　√(ab)＞0

＞√(a-b)＞√abを示す

√(a-b)＞√ab　⇔　a^2+a＞1
までは論理的には正しいが、a=0.6 のとき、a^2+a=0.96＜1　なので成り立たない。

√(a-b)と√abは、この条件だけでは大小関係は確定しない。
例えば、
a=0.6、b=0.4なら、√(a-b)＜√ab
a=0.7、b=0.3なら、√(a-b)＞√ab

お礼

ありがとうございました

補足

たしかに1ではないです 失礼しました

√a+√b＞1　⇔　a-b＞√a-√bは両辺に√a-√bをかけました しかも平方根は元の数を越えないから示されたと考えました

√(a-b)と√abはまだ大小比較できないんですね どうやって発見すればよいでしょうか？実際は適当にaとbを決めて代入したら√(a-b)＞√abとなったときこれで話を進めていくことになると思うのですが、2つ3つ代入しないといけないのでしょうか？

回答No.2

nag0720

＞√a+√b＞1　⇔　a-b＞√a-√bは両辺に√a-√bをかけました

失礼しました。その発想は浮かびませんでした。（頭が固かった）

＞2つ3つ代入しないといけないのでしょうか？

少なくとも、a=1/2,b=1/2　と　a=1,b=0　を代入してみるべきでしょう。
1＞a＞1/2＞b＞0
なので、本来ならこのようなa,bは代入できませんが、極限を調べるという意味でも必要なことです。

お礼

極限を調べるのがコツなんですね ありがとうございました