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離散数学が分からず困っています。
集合Aの要素の個数を15とする。 Aの部分集合のうち、要素の個数が奇数である部分集合の個数はいくつか? 上の問題を解説して欲しいです。できれば分かりやすくお願いします。
- ffmadeinjapan
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- 数学・算数
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● 答えは、(2 の 14乗)個 でしょうか … 。 ● ところで、集合A の部分集合の総数が、空集合を含めて、(2 の 15乗)個 であることはおわかりですよね。15桁 の 2進数 によって、集合A の各部分集合のありようを表現できるからです。 ● n は自然数であるとします。すなわち、n は 0 より大きい整数であるとします。 集合P の要素の数が n個 であるとき、集合P の部分集合の総数は (2 の n乗)個 です。それらの部分集合のうち、要素の数が奇数個のものは、総数の半分、すなわち (2 の (n - 1)乗)個 であると、私は思います。それにともない、それらの部分集合のうち、要素の数が偶数個のものも、総数の半分、すなわち (2 の (n - 1)乗)個 であると、私は思います。 ● 数学的帰納法によって、私はそれを証明してみました。 n = 1 であるとき、 A = {a} A の部分集合は、φ と {a} の 2個 です。すなわち、(2 の 1乗)個 です。 それらの部分集合のうち、要素の数が奇数個の部分集合は、{a} だけです。すなわち、(2 の (1 - 1)乗)個 です。 よって、n = 1 のときは、満たされます。 n = k のときに満たされるものと仮定します。このとき、b は A の要素ではないとします。A∪{b} は、要素の数が k + 1個 となります。 A の部分集合の総数は (2 の k乗)個 です。それらと、それらのおのおの部分集合に b を加えた集合が、A∪{b} の部分集合のすべてとなります ( 合計 (2 の (k + 1)乗)個 )。 仮定より、A の部分集合のうち、要素の数が奇数個の部分集合も、要素の数が偶数個の部分集合も、それぞれ (2 の (k - 1))個 です。それらのおのおのの部分集合に b を加えたとします。それまで要素の数が奇数個であった A の部分集合は、要素の数が偶数個の集合となり、それまで要素の数が偶数個であった A の部分集合は、要素の数が奇数個の集合となります。 b を加える前に要素の数が奇数であった A の部分集合 (2 の (k - 1)乗)個 と、b を加えた後に要素の数が奇数個となった集合 (2 の (k - 1)乗)個 との総数は、(2 の k乗)個 となります。 ● あわてて証明を記述しましたので、わかりにくいものと思われます。ごめんなさい。 また、私はそこつ者です。以上の記述の中にあやまりが含まれている可能性は高いです。まちがっていましたら、ひらにごめんなさい。
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- ferien
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ANo.1ANo.2です。集合の個数について 要素の個数が奇数である部分集合の個数は、 要素の個数が1個である集合、15C1=15個 要素の個数が3個である集合、15C3個 ……… 要素の個数が15個である集合、15C15=1個 で、 15C1+15C3+15C5+……+15C15 が求める集合の個数になると思います。 どうでしょうか?
- ferien
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ANo.1です。訂正です。済みません。 >合計で8個あります。確認してみて下さい。 8個でなくて、8種類です。 個数はもっとあると思います。
- ferien
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集合Aの要素の個数を15とする。 >Aの部分集合のうち、要素の個数が奇数である部分集合の個数はいくつか? 要素の個数が奇数である部分集合とは、 要素の個数が1個である集合、 要素の個数が3個である集合、 ……… 要素の個数が15個である集合 上のような集合の個数を求めること。 合計で8個あります。確認してみて下さい。
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