「もういちど読む 数研の高校数学」第1巻の問題が解

質問

高校(商業科)を卒業して約３０年。
理数系は好きな分野ですが色々と忘れているため、『もういちど基礎から』と思い「もういちど読む　数研の高校数学」第1巻及び第2巻を買ったのですが・・・内容を確認せずに購入したので最初の第１章から躓いてしまいました。
もし宜しければ教えていただけないでしょうか？

躓いているのは、第1巻第1章第３節に対する練習問題の1つなのですが
『問　等式　３／（Ｘ^3＋１）　＝　｛ａ／（Ｘ+１）}　＋　｛（ｂＸ＋Ｃ）／（Ｘ＾2－Ｘ＋１）｝　がＸについて恒等式となるように、定数ａ、ｂ、ｃの値を求めてください。』

これの答えは　『ａ＝1　ｂ＝△1　ｃ＝2』　と、なっております。

この問題に対して私は次のように解き方を考えました。
　i　両辺の分母に注目すると、第１章に載っている次の公式と同じ形
　　　　　Ｘ＾3+Ｙ＾3　＝　（Ｘ+Ｙ）（Ｘ＾2－ＸＹ＋Ｙ＾2）
　ii　そこで、右辺の分母を（Ｘ＾3+1＾3）するために必要な掛け算を行うと、右辺の分子は次のようになる
　　　　ａ（Ｘ＾2－Ｘ＋1）+（ｂＸ＋Ｃ）（Ｘ+１）
　　　　　＝ａＸ＾2－ａＸ＋ａ+ｂＸ＾2＋（ｂ＋ｃ）Ｘ＋Ｃ
　　　　　＝（ａ＋ｂ）Ｘ＾2+（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ+（ａ＋ｃ）
　iii　両辺に（Ｘ＾3+1＾3）を掛ければ
　　　　３＝（ａ＋ｂ）Ｘ＾2+（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ+（ａ＋ｃ）
ここで計算に詰まってしまいましたが、この質問文を書いていた思い至ったのですが・・・・
恒等式はＸに任意の値を代入しても常に成立するので、
　　『（ａ＋ｂ）Ｘ＾2＝０　（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ＝0　（ａ＋ｃ）＝3』
　　　　↓
　　『　ａ＋ｂ＝０　　△ａ＋ｂ＋ｃ＝0　　ａ＋ｃ＝3　』
解き進めると
　　ａ＋ｂ＝０　と　△ａ＋ｂ＋ｃ＝0　は　ａ＋ｂ＝△ａ＋ｂ＋ｃ
　　ａ＋ｃ＝3　は　ａ＝3-ｃ
となるので
　　３－ｃ＋ｂ＝△３＋ｃ＋ｂ＋ｃ
　　3+3＝３ｃ
　　２＝ｃ

長々とすいませんでした。
ここで質問が有ります。
　・偶然にも解けてしまったのですが、答えの導き方として正しいでしょうか？
　　（以前からこのカテで質問すると、私の解き方には無駄な部分はあるとご指導を受けるので）
　・もっと優美若しくは簡易な解き方はあるのでしょうか？

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞・偶然にも解けてしまったのですが、答えの導き方として正しいでしょうか？　（以前からこのカテで質問すると、私の解き方には無駄な部分はあるとご指導を受けるので）

解法としては問題ない。
但し、係数が全て＝0である事が　必要十分条件である事は　書かなければならないでしょう。それが書いてなければ、減点されるでしょう。
以前に、貴方がどのような解をしたのか知りませんが、もはや高校生ではないから、多少回り道をしたり、道草食っても　解ければ良いんですよ。
galleryの戯言は　気にしない方が良い。とやかく言ってる奴だって(高校を卒業したら結構忘れてるし)そもそも大したlevelではないんだから。

＞・もっと優美若しくは簡易な解き方はあるのでしょうか？

恒等式の解法は　(1)　係数比較法(＝貴方が　上でやっている方法)　(2)　数値代入法　の2つしかないです。
数値代入法は、適当な数字を代入すると(この問題では、3つの値が必要。例えば　x＝0、1、2) 答は出る。
しかし、それは高々3つの値に対して成立しただけで(＝必要条件)、全ての値に成立すのかどうかは分からない。
そこで、求めた　a、b、cの値を原式に代入して　常に成立する事を確認する(＝十分条件)事が必要になる。

お礼

ご指導下さりありがとうございます。
又、いただいた温かいメッセージは勉強の励みとなりますので、感謝に耐えません。
徒に馬齢を重ね、人間的には未熟な私ですから、知らず知らず癇に障る書き方をするかもしれませんが、これからも色々とご指導いただければ幸いです。

最後に、お礼文が一番最後になってしまった事をお詫び申し上げます。

回答No.4

Tacosan

えぇっとですねぇ, 『Ｘ≠0　と仮定して』といっても, 　『（ａ＋ｂ）Ｘ＾2＝０　（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ＝0　（ａ＋ｃ）＝3』の中に x を入れちゃうとまずいんです. つまり, これだと「3つ足して 3 になるのは『0, 0, 3』の組み合わせだけだ」と言っているように見えるんです.

お礼

再度のご指導、ありがとうございました。
自分がどれ程バカになっているのかを痛感させられます。

回答No.2

Tacosan

そもそも「△1」なんて書き方はしません.

方針はいいんだけど, iii の
恒等式はＸに任意の値を代入しても常に成立するので、
　　『（ａ＋ｂ）Ｘ＾2＝０　（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ＝0　（ａ＋ｃ）＝3』
がアウト. どうしてこうなるのか, 説明できますか?

恒等式だから係数を比較して
『　ａ＋ｂ＝０　　△ａ＋ｂ＋ｃ＝0　　ａ＋ｃ＝3　』
だったら (最初に指摘したところを除いて) 問題ないんだけどねぇ.

お礼

下手糞な解法を添削してくださり、ありがとうございます。
今後も初歩的な事や下手な解法を書くと思いますが、見かけた際にはご指導ご鞭撻の程、よろしくお願い申し上げます。

> そもそも「△1」なんて書き方はしません.
つい、仕事で日常的に使っている書き方をしてしまいました。
数学のカテで質問したのですから、ご指摘の通りです。

> 恒等式はＸに任意の値を代入しても常に成立するので、
>　　『（ａ＋ｂ）Ｘ＾2＝０　（△ａ＋ｂ＋ｃ）Ｘ＝0　（ａ＋ｃ）＝3』
> がアウト. どうしてこうなるのか, 説明できますか?
説明できません。
『Ｘ≠0　と仮定して』なんて言うのは論外なんですよね。

回答No.1

fertile

教科書に掲載してもいい模範解答だと思いますよ。
俺も高校卒業後、センター試験の数学だけは、毎年チャレンジしています。
がんばりましょーｗ

お礼

早速のご回答、ありがとうございます。

更に応援メッセージまで下さり・・・勉強の励みとさせいただきます。

今後も初歩的な事や下手な解法を書くと思いますが、見かけた際にはご指導ご鞭撻の程、よろしくお願い申し上げます。