思いつきます？

質問

「１０００以下の自然数のうち、約数が５個であるものをすべて答えよ」という問題がわからずに、解説を見ました。

すると、

【約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）であるので、
答えは
２^4＝１６
３^4＝８１
４^4＝２５６
である。】

とありました。

この回答、どうすれば「約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）である」
なんて思いつくのでしょう？
とっても不思議です。

回答No.6

liar_adan · ベストアンサー

整数nを

n = 2^k1 * 3^k2 * ... * Pm^km
(Pmはm番目の整数、k1~kmは整数)
と素因数分解します。
すると、「約数の数」は
(k1+1) * (k2+1) * ... * (km+1)
となります。

たとえば
18 = 2^1 * 3^2
を考えてみると、約数は

1 = 2^0 * 3^0
2 = 2^1 * 3^0
3 = 2^0 * 3^1
6 = 2^1 * 3^1
9 = 2^0 * 3^2
18 = 2^1 * 3^2

となります。
(各素数の乗数が、0からkmまで揃うわけですね)

ここで、「約数が5」ということから、
二つ以上の素数が約数になることはできません。
5自体が素数なので、分解できませんから。
だから、ひとつの素数の累乗である数で、
しかも4乗、ということがわかるのです。

蛇足ですが＃５さんの
＞２つ以上の別の素数を約数に持つ自然数の、約数の数は必ず偶数になります。
というのは違います。
たとえば
36 = 2^2 * 3^2
の約数の数は、(2+1)*(2+1)で9個です。

回答No.3

fiva205c

なんだかその回答変ですね

例えば、１×２×３×４×５＝２１０も約数は５個（１，２，３，４，５）ですよね。

回答No.2

arukamun

ん？

ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pn)
（Pは素数です）
となり、
p1+p2+p3+p4+・・・+pn=4
のものという事ですよね。
答えが
16,81,256の３個だけと言うことは無いと思いますが・・・。
ちょっと調べてみます。

お礼

ご協力ありがとうございます。

No.1の方への補足に目を通しておいてください。

回答No.1

winterofmeei

【約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）であるので、
答えは
２^4＝１６
３^4＝８１
４^4＝２５６
である。】
これ自体が間違っていると思います。４は素数ではありません。

お礼

ご指摘ありがとうございました。

補足

あ、すいません。

４^4＝２５６ →　５^4＝６２５

でした。