思いつきます？

質問

「１０００以下の自然数のうち、約数が５個であるものをすべて答えよ」という問題がわからずに、解説を見ました。

すると、

【約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）であるので、
答えは
２^4＝１６
３^4＝８１
４^4＝２５６
である。】

とありました。

この回答、どうすれば「約数が５個である自然数ｘの約数は
１,a,a^2,a^3,ｘ（aは素数。ｘはa^4）である」
なんて思いつくのでしょう？
とっても不思議です。

回答No.10

kony0

この問題の解答には「知識」は必要だが、「思いつき」は必要ではないです。

必要な知識は、
ある自然数をnとして
n=(2^p1)*(3^p2)*(5^p3)*(7^p4)*・・・*(P^pk)
と素因数分解したとき、正の約数の個数が
(p1+1)(p2+1)(p3+1)(p4+1)*・・・*(pk+1)個
となることです。

これにより、約数が５個となる整数は（素数）^4の形のみであることが言える。

ちなみに約数が４個の場合は、素因数分解したときの形がab, c^3となるもの。
約数が６個の場合は、ab^2, c^5となるもの。
というような感じになります。