線型独立の定義に基づいて、ベクトルa1, a2, a3, a4, bが線型独立であることを示す
- 線型独立なベクトルa1, a2, a3, a4において、bがa1, a2, a3, a4の線型結合で表されない場合、ベクトルa1, a2, a3, a4, bは線型独立であると言えます。
- ベクトルa1, a2, a3, a4を用いてa1 + a2 + a3 + a4 = bとなるようなスカラーk1, k2, k3, k4が存在しない場合、ベクトルa1, a2, a3, a4, bは線型独立です。
- 上記の定義に基づいて、ベクトルa1, a2, a3, a4, bが線型独立であることを示すためには、bがベクトルa1, a2, a3, a4の線型結合で表されないことを示せば良いです。
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線型独立
Ｖをベクトル空間としてa1,a2,a3,a4,bをＶのベクトルとする。 ＜a1,a2,a3,a4＞をa1,a2,a3,a4で生成されたＶの部分空間とする。 a1,a2,a3,a4が線型独立で、＜a1,a2,a3,a4＞∌ b とする。 このときa1,a2,a3,a4,bが線型独立であることを、線型独立の定義にしたがって示せ。 という問題なのですが、まったく分かりません。 線型独立なので、k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0⇒k1=k2=k3=k4=0 ということは分かっているのですが、bが入ることでどのように示していけばいいのか・・・ 「線型独立の定義にしたがって」と書いてあるので、線型従属ではないことを示していくのではないんですよね？ 文系出身なうえ、独学で勉強しているので、易しく教えていただければ嬉しいですm(__)m
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こういうのは定義に従ってやればいい k1a1+k2a2+k3a3+k4a4+lb=0⇒k1=k2=k3=k4=l=0 となることを示せばよい もし，lが0ではないならば b=-(1/l)(k1a1+k2a2+k3a3+k4a4) となって＜a1,a2,a3,a4＞∌ b に反する だから l=0 よって k1a1+k2a2+k3a3+k4a4=0 もうわかるでしょう？
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- B-juggler
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Ｎｏ．１です。 Ｎｏ．２さんの証明で終わってます。 すいません。 ＜a1,a2,a3,a4＞をa1,a2,a3,a4で生成されたＶの部分空間とする。 ここに書いてあるんだ。 この４つのベクトルで作られるベクトルは、すべてＶに入っている！ってことだ～～。 しまったお手数かけました。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
補足をわざわざありがとうございました！ 丁寧な解答をしてくださって、分かりやすかったです。
- B-juggler
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えっと、元代数学の非常勤です。 経済とかでもこういうのやらされるんだよね。σ(・・*)よく受け持ちだった。 もう少し簡単に考えて見ましょう？ 定義式から言えることって、なにか？ ちょっと書式を変えますね。 ベクトルを Ａ１ と大文字で書きます。 ０ベクトル は 「０」ね。 今、Ａ１ と Ａ２ が線形独立のとき、 ｋ１×Ａ１ ＋ ｋ２×Ａ２ ＝「０」 ⇒ ｋ１＝ｋ２＝０ ですね？ これは何かというと、Ａ１とＡ２が平行でない！ ということよね。 ＃もし平行なら、 ｋ１、ｋ２をうまくやれば、「０」を作れる！ ＃ってわけね？ いいかな？ こういう風に考えていくと、問題では Ａ１～Ａ４は全て互いに平行でないこと は書いてあるね。 さて Ｂ だけど これは ＜Ａ１～Ａ４＞の部分集合に入っていないから、 ぱっと見て、平行ではなさそうだけど（それぞれと）。 でもそれは書いてない。。。 例えば Ｂ＝ｋ１Ａ１ だったら、これは平行になっているので ｋ１Ａ１＋ｋ２Ａ２＋・・・＋ｋＢ＝「０」 ⇒ ｋ１＝ｋ２＝・・・＝ｋ＝０ とはいえないのは分かりますか？ ｋ２＝ｋ３＝ｋ４＝０ でいいんだけど、 ｋ１ と ｋ で うまく 「０」を作り出すことも出来る・・・。 えっと、なんか抜けてないかな？ Ｂは 部分集合＜Ａ１，Ａ２，Ａ３，Ａ４＞にたいして、線形独立ですよ。とか。 もう一息だと思うんだけどね。 ちょっと、今ぱっと出てこない、なんか落ちている気がするんだけど。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
お礼
丁寧に書いてくださってどうもありがとうございました！ おかげでゴチャゴチャだった部分がクリアーになりました。
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お礼
分かりました！ シンプルで分かりやすかったです！ どうもありがとうございました＾＾