sin、cosの微分積分と虚数単位iとの関係

質問

虚数単位iに iをかけると-1になり、さらにかけると-iとなり、さらにかけるとこんどは１となることと、sin（あるいはcos）の微分を繰り返して出てくる結果が似ているという話をわかりやすくご教示いただけないでしょうか。

回答No.8

noname#171582 · ベストアンサー

質問者は幾何学的表現を求めているようだ。
質問文の中には”微分”は出てきても”積分”は出てこない。

　　　　　　　(1)ｆ（ｘ）＝sin（x）

　　(2)cos(x)　　　　　　　　　　(4)　-cos(x)

　　　　　　　(3)-sin(x)　
微分
(1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)と左回転する。

微分
(1)⇒(4)⇒(3)⇒(2)と右回転する。

少し幾何学的表現になったかな。

お礼

ご親切に教えていただき感謝いたします。あまり日分野積分の本質は理解できていませんが、貴文中の二つの微分のどちらかは積分なのでしょうか。微分と積分は回転が逆というのは何か感激的でした。

補足

お礼欄にミスタイプいたし失礼いたしました。

回答No.7

noname#171582

f(x)=sin(x)のとき、
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
f'''(x)=-cos(x)
f''''(x)=sin(x)
という風に、4回微分すると元に戻ります。

i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1

が先にあって
オイラーの公式もそれらのルールをキチント
表現している。と言うことです。矛盾なく。

f(x)=eｘｐ[iｘ]＝cos（ｘ）＋isin（ｘ）
それだけに、この公式がいかによくできているか
と言うことです。

お礼

オイラーの公式へ帰結することなのですね。ご教示に感謝いたします。何か幾何学的表現がないのかとまだ迷妄状態にもいます。

回答No.6

asuncion

私の回答は単に実例を挙げただけで、理論的な裏付けが何もなかったですね。
理論的な裏付けは、他の回答者さんからの回答のとおりです。

お礼

皆さまのご教示によって数学に対するあこがれがますます強くなりました。ありがとうございました。

回答No.5

FT56F001

#3さん，#4さんの通りなのですが，丁寧に書いてみましょう。

オイラーの公式より
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)

さて，指数関数の微分の公式
d{exp(a*x)}/dx=a*exp(ax)より，

(d/dx)　{exp(i*x)}=i*exp(i*x)
(d/dx)^2{exp(i*x)}=i^2*exp(i*x)=-exp(i*x)
(d/dx)^3{exp(i*x)}=i^3*exp(i*x)=-i*exp(i*x)
(d/dx)^4{exp(i*x)}=i^4*exp(i*x)=exp(i*x)

この4式の両辺の実数部を取ると
(d/dx){cos(x)}=-sin(x)
(d/dx)^2{cos(x)}=-cos(x)
(d/dx)^3{cos(x)}=sin(x)
(d/dx)^4{cos(x)}=cos(x)
左辺はcos(x)を4階微分すると元に戻る話，右辺はiを4乗すると1になる話。

お礼

改めて勉強させていただきます。４回目に元に戻るということから微分と虚数、掛け算と足し算の関係が神秘的に思えたのですが、きちんと勉強しなければいけないと思いました。ご教示に感謝いたします。

回答No.4

alice_44

関係大有り。
y = sin x と y = cos x と y = e^(ix) は
どれも (d/dx)^2 y = -y の解だが、
この微分方程式は二階斉次線形だから、
一般解は二次線形空間をなす。
よって、sin x と cos x と e^(ix) は一次従属。
その具体的な従属一次結合は、オイラーの等式。

お礼

私にとって猫に小判のご教示ですが、ご教示いただいてありがたいことだと思いました。素朴にガウス空間での回転と三角関数の微分積分が結び付いているのかと想像していたのでご説明は難しすぎました。しかし厚く御礼申し上げさせていだきたいと存じます。

回答No.3

noname#171582

f(x)=e[iｘ]＝cos（ｘ）＋isin（ｘ）

お礼

ご教示感謝いたします。オイラーの公式は有名ですが、オイラーの公式と両者が４回目に元に戻るということは関係がないことなのでしょうか。

回答No.2

asuncion

おっと失礼。

＞i^4=1
＞i^4=i

後の方は、
i^5=i
が正しいですね。当然。

お礼

ご訂正どうもありがとうございます。

補足

４回目に元に戻るというのは全く関係がないことなのでしょうか。

回答No.1

asuncion

f(x)=sin(x)のとき、
f'(x)=cos(x)
f''(x)=-sin(x)
f'''(x)=-cos(x)
f''''(x)=sin(x)
という風に、4回微分すると元に戻ります。

i^1=i
i^2=-1
i^3=-i
i^4=1
i^4=i
という風に、iを4回かけると元に戻ります。

お礼

ご教示ありがとうございます。

補足

偶然似ているだけなのでしょうか。