パワースペクトル密度の計算

質問

パワースペクトル密度の計算について教えてください。

パワースペクトル密度を計算する際のサンプル数で割る考え方が分かりません。

調べたところ計算の手順としては、
１．ｆｆｔの計算結果の絶対値を取る
２．絶対値の２乗をする
３．絶対値の２乗をサンプル数で割る
４．周波数分解能で割る
と思っているのですが、
サンプル数で割る際は、
絶対値の２乗をしているため、サンプル数の２乗で割る必要はないのでしょうか？
なぜ２乗では無いのかが分かりません。

どなたかご教示いただけると幸いです。
何卒よろしくお願いいたします。

回答No.2

imoriimori

#1続きです。
まず、うっかりタイプミスの訂正です。「○は典型的には1、N^(-1/2)、N のどれか」は、「○は典型的には1、N^(-1/2)、N ^(-1)のどれか」です。

次のようであるはずです。
あなたの使用しているFFTでは○部分は１なのでしたら、パワースペクトル密度を得るにはｆｆｔの計算結果の絶対値の２乗をNで割ることになります。N^2で割るのではありません。
○が１なら、Nで割る。
○がN^(-1/2)なら、割らない。
○がN^(-1)なら、Nを乗じる。
なぜだと言われるかも知れませんが、簡潔に説明する術を私は持ちません。パワースペクトル密度の単位（およびその意味）と、フーリエ変換の値の単位（およびその意味）を考えると私としてはそう結論するしかない、というものです。もっとも、私はあなたの分野の専門家ではないし、晩酌後の酩酊気分で書いているので保証の限りではありません。疑問点は適切な専門家を得て確認していただくのが良いです。

お礼

回答ありがとうございます。
PSDとFFTの単位及び意味を再度確認してみます。

回答No.1

imoriimori

FFTであっても何であっても、離散フーリエ変換の係数についての約束事次第です。
一次元でN点のデータDnがあるとします。○Σ（Dn×exp[...])と言う形でフーリエ変換をする際に、○は任意です。任意とは言っても、○は典型的には1、N^(-1/2)、N のどれかです。エクセルのフーリエ変換では○は１です。あなたがお使いのFFTの○はどうなっているのかわかりませんが、パワースペクトル密度を得るには○次第でN^2で割ったり、Nで割ったり、割らなかったり、となります。
○を知るには、Dnとしてデルタ関数などシンプルな形で既知の値を入れて、FFT結果がどうなるか見ると良いと思います。

補足

早速のご教示ありがとうございます。

○Σ（Dn×exp[...])についてですが、私が使用しているFFTでは○部分は１になっています。
この場合はN^2で割ると考えてよいのでしょうか？

よろしくお願いいたします。